Exercițiul 641

E.641. La o expoziție au fost aduse 4545 de motociclete și automobile în total. Se știe că o motocicletă are 22 roți și un automobil are 44 roți.
a) Demonstrați că numărul total de roți nu poate fi egal cu 121121.
b) Dacă în total sunt 122122 de roți determinați numărul de motociclete.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedoara, 2023
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1616 autoturisme, 2929 motociclete.

Soluție:

a) Deoarece 22 și 44 sunt numere pare, deducem ca numărul total de roți este tot un număr par, deci nu poate fi egal cu 121.121.

b) Metoda falsei ipoteze. Presupunem că avem doar motociclete. În acest caz avem 45⋅2=9045 \cdot 2 = 90 de roți. Asta înseamnă o nepotrivire de 122−90=32122-90=32 roți. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și autoturisme, care au 44 roți).

Dacă înlocuim o motocicletă cu un autoturism, numărul de roți va crește cu 4−2=2.4-2=2. Ca să acoperim diferența de 3232 de roți, va trebui să facem 32:2=1632:2=16 înlocuiri. Așadar, vom avea 1616 autoturisme și 45−16=2945-16=29 motociclete.

b) Metoda algebrică. Notăm cu mm și aa numărul de motociclete, respectiv de autoturisme.

{m+a=45∣⋅22m+4a=122⇔{2m+2a=90∣⋅22m+4a=122⇒(−)2a=122−90⇒a=16. \begin{cases} m+a=45 \quad | \cdot 2 \\ 2m+4a=122 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2m+2a=90 \quad | \cdot 2 \\ 2m+4a=122 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 2a=122-90 \Rightarrow \boxed{a=16}.
m+16=45⇒m=29.m+16=45 \Rightarrow \boxed{m=29}.