Exercițiul 640

E.640. Pentru a achita suma de 920920 lei s-au folosit 4848 de bancnote cu valoarea de 5050 de lei și de 1010 lei. Care a fost numărul de bancnote utilizate cu valoarea de 5050 de lei?

Olimpiadă, etapa locală, București, 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1111 bancnote.

Soluție:

Metoda falsei ipoteze. Presupunem că s-au folosit doar bancnote de 1010 lei (4848 de bancnote). În acest caz, suma achitată ar fi 48⋅10=48048 \cdot 10 = 480 lei. Asta înseamnă o nepotrivire de 920−480=440920-480=440 lei. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și bancnote de 5050 de lei).

Dacă înlocuim o bancnotă de 5050 cu una de 1010, suma achitată va crește cu 50−10=4050-10=40 lei. Ca să acoperim diferența de 440440 de lei, va trebui să facem 440:40=11440:40 = 11 înlocuiri.

În concluzie, vom avea 1111 bancnote de 5050 de lei.

Metoda algebrică. Notăm cu cc și zz numărul bancnotelor de 5050, respectiv 1010 lei.

{50c+10z=920∣:10c+z=48⇔{5c+z=92c+z=48⇒(−)4c=44⇒c=11. \begin{cases} 50c+10z=920 \quad |:10\\ c+z=48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5c+z=92 \\ c+z=48 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 4c=44 \Rightarrow \boxed{c=11}.