Exercițiul 639

E.639. Biletele de intrare la un muzeu costă 1212 lei pentru un adult și 88 lei pentru un copil. Într-un weekend s-au vândut în total 240240 de bilete și s-au încasat 20802080 lei. Care a fost suma încasată pentru biletele de adulți?

Olimpiadă, etapa locală, București, 2022
Răspuns | Soluție

Răspuns: 480480 lei.

Soluție:

Metoda falsei ipoteze. Presupunem că au participat doar copii (240240 de copii). În acest caz, valoare biletelor ar fi 240⋅8=1920240 \cdot 8 = 1920 lei. Asta înseamnă o nepotrivire de 2080−1920=1602080-1920=160 lei. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și adulți).

Dacă înlocuim un copil cu un adult, suma încasată va crește cu 12−8=412-8=4 lei. Ca să acoperim diferența de 160160 de lei, va trebui să facem 160:4=40160:4 = 40 înlocuiri.

În concluzie, vom avea 4040 de adulți, iar aceștia vor plăti 40⋅12=48040 \cdot 12 = 480 lei.

Metoda algebrică. Notăm cu aa și cc numărul de adulți, respectiv numărul de copii.

{12a+8c=2080a+c=240∣⋅8⇔{12a+8c=20808a+8c=1920⇒(−)4a=160⇒a=40. \begin{cases} 12a + 8c = 2080 \\ a+c=240 \quad |\cdot 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 12a + 8c = 2080 \\ 8a+8c=1920 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 4a=160 \Rightarrow \boxed{a=40}.
Deci suma încasată de la adulți a fost 40⋅12=48040 \cdot 12 = 480 lei.