Exercițiul 644

E.644. Într-o zi, prin fața casei lui Aurel au trecut 4343 de vehicule: camioane, autoturisme, motociclete și biciclete, în total 122122 de roți. Știind că numărul camioanelor este de 55 ori mai mic decât numărul autoturismelor, și că numărul bicicletelor este cu 1515 mai mare decât cel al motocicletelor, aflați câte vehicule de fiecare fel au trecut în acea zi prin fața casei lui Aurel.

Olimpiadă, etapa locală, Suceava, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 33 camioane, 1515 autoturisme, 55 motociclete, 2020 biciclete.

Soluție:

Metoda falsei ipoteze. Ca un prim pas, încercăm să reducem problema la o altă problemă care să conțină doar două feluri de vehicule. În acest sens, observăm că dacă înlocuim camioanele cu autoturisme și bicicletele cu motociclete, numărul total de vehicule și de roți nu se modifică.

Așadar, ca o primă ipoteză, presupunem că toate camioanele sunt autoturisme și toate bicicletele sunt motociclete. În acest caz, problema poate fi reformulată astfel: "Prin fața casei lui Aurel au trecut 4343 de vehicule: autoturisme și motociclete, în total 122122 de roți. Aflați câte sunt din fiecare".

Pentru a rezolva această nouă problemă, apelăm la o a doua ipoteză: presupunem că toate autoturismele sunt motociclete. În acest caz avem 43∗2=8643*2=86 de roți. Asta înseamnă o nepotrivire de 122−86=36122-86 = 36 de roți. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și autoturisme).

Dacă înlocuim o o motocicletă cu un autoturism, numărul de roți va crește cu 4−2=2.4-2=2. Ca să acoperim diferența de 3636 de rroți, va trebui să facem 36:2=1836:2=18 înlocuiri. Așadar, vom avea 1818 autoturisme și 43−18=2543-18=25 motociclete.

Rezultatul de mai sus a fost obținut în baza primei ipoteze (că toate camioanele sunt autoturisme și toate bicicletele sunt motociclete). Dacă ținem cont că, în realitate, numărul camioanelor este de 55 ori mai mic decât numărul autoturismelor, și că numărul bicicletelor este cu 1515 mai mare decât cel al motocicletelor, obținem:

{autoturisme + camioane=18autoturisme=5⋅ camioane⇒3 camioane și 15 autoturisme. \begin{cases} \text{autoturisme + camioane}= 18\\ \text{autoturisme} = 5 \cdot \text{ camioane} \end{cases} \Rightarrow \boxed{3 \text{ camioane}} \text{ și } \boxed{15 \text{ autoturisme}}.
{biciclete + motociclete=25biciclete=15+motociclete⇒5 motociclete și 20 biciclete. \begin{cases} \text{biciclete + motociclete} = 25\\ \text{biciclete} = 15 + \text{motociclete} \end{cases} \Rightarrow \boxed{5 \text{ motociclete}} \text{ și } \boxed{20 \text{ biciclete}}.

Metoda algebrică. Notăm cu c,a,mc,a,m și bb numărul de camioane, autoturisme, motociclete, respectiv biciclete.

{c+a+m+b=434c+4a+2m+2b=122a=5cb=m+15⇒{c+5c+m+15+m=434c+20c+2m+2(m+15)=122⇔{6c+2m=2824c+4m=92∣:2⇔{6c+2m=2812c+2m=46⇒(−)6c=18⇒c=3. \begin{cases} c+a+m+b=43\\ 4c+4a+2m+2b=122 \\ \boxed{a=5c} \\ \boxed{b=m+15} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c+5c+m+15+m=43\\ 4c+20c+2m + 2(m+15)=122 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6c+2m= 28 \\ 24c+ 4m =92 \quad | :2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6c+2m= 28 \\ 12c+ 2m =46 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 6c=18 \Rightarrow \boxed{c=3}.
6⋅3+2m=28⇒m=5.6 \cdot 3+2m =28 \Rightarrow \boxed{m=5}.
a=5⋅c⇒a=15.a=5 \cdot c \Rightarrow \boxed{a=15}.
b=m+15⇒b=20.b=m+15 \Rightarrow \boxed{b=20}.