Exercițiul 642

E.642. La un concurs de matematică fiecare elev a avut de rezolvat 4040 de probleme. Pentru fiecare răspuns corect elevul primește 55 puncte iar la fiecare răspuns greșit i se scad 22 puncte. Știind că elevii au dat răspunsuri la toate problemele, aflați:
a) Ce punctaj a primit un elev care a răspuns corect la 3232 de probleme?
b) La câte probleme a răspuns corect un elev care a obținut 102102 puncte?

Olimpiadă, etapa locală, Sălaj, 2023; Botoșani, Dolj 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 144144 puncte; b) 2626 probleme.

Soluție:

a) Dacă elevul a răspuns corect la 3232 probleme, înseamnă că a greșit la 40−32=8.40-32=8. Prin urmare, punctajul obținut a fost 32⋅5−8⋅2=14432 \cdot 5 - 8 \cdot 2 = 144 puncte.

b) Metoda falsei ipoteze. Presupunem că a răspuns corect la toate problemele. În acest caz ar fi obținut 40⋅5=20040 \cdot 5 = 200 de puncte. Asta înseamnă o nepotrivire de 200−102=98200-102=98 de puncte. Această nepotrivire a apărut deoarece ipoteza făcută a fost falsă (adică există și răspunsuri greșite).

Dacă înlocuim un răspuns corect cu unul greșit, numărul de puncte va scade cu 5+2=7.5+2=7. Ca să acoperim diferența de 3232 de roți, va trebui să facem 98:7=1498:7=14 înlocuiri. Așadar, vom avea 1414 răspunsuri greșite și 40−14=2640-14=26 răspunsuri corecte.

b) Metoda algebrică. Notăm cu cc și gg numărul de răspunsuri corecte, respectiv greșite.

{c+g=40∣⋅55c−2g=102⇔{5c+5g=2005c=102+2g⇒(−)5g=200−102−2g⇒g=14. \begin{cases} c+g=40 \quad | \cdot 5 \\ 5c-2g=102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5c+5g=200 \\ 5c=102+2g \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 5g=200-102-2g \Rightarrow \boxed{g=14}.
c+14=40⇒c=26.c+14=40 \Rightarrow \boxed{c=26}.