Exercițiul 607

E.607. La o florărie, 77 lalele, 55 trandafiri și 33 gladiole costă 5757 lei, 55 lalele și 33 trandafiri costă 2525 lei, iar 22 trandafiri și 55 gladiole costă 4040 lei. Cât costă o lalea, cât costă un trandafir și cât costă o gladiolă.

Radu Stănică, Olimpiadă, etapa locală, Cluj, 2020
Supliment GM, 9/2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: O lalea 22 lei, un trandafir 55 lei, o gladiolă 66 lei.

Soluție:

Notăm cu l,t,gl, t, g numărul de lalele, trandafiri, respectiv gladiole.
Eliminăm necunoscuta tt:

{7l+5t+3g=57∣⋅3⋅25l+3t=25∣⋅5⋅22t+5g=40∣⋅5⋅3⇔{42l+30t+18g=342(1)50l+30t=250(2)30t+75g=600(3) \begin{cases} 7l+&5t+3g&=57 \quad |\cdot 3 \cdot 2\\ 5l+&3t&=25 \quad |\cdot 5 \cdot 2\\ &2t+5g&=40 \quad |\cdot 5 \cdot 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 42l+&30t+18g&=342 \quad (1)\\ 50l+&30t&=250 \quad (2)\\ &30t+75g&=600 \quad (3) \end{cases}

{(1)−(2):718g−8l=92∣:2(3)−(2):75g−50l=350∣:25⇔{9g=4l+463g=2l+14∣⋅2⇔{9g=4l+466g=4l+28⇒(−)3g=18⇒g=6. \begin{cases} (1)-(2): 718g-8l=92 \quad |:2\\ (3)-(2): 75g-50l=350 \quad |:25 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9g=4l+46\\ 3g=2l+14 \quad |\cdot 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9g=4l+46\\ 6g=4l+28 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 3g=18 \Rightarrow \boxed{g=6}.

3⋅6=2l+14⇒l=2.3\cdot 6=2l+14 \Rightarrow \boxed{l=2}.
2t+5⋅6=40⇒t=5.2t+5 \cdot 6 = 40 \Rightarrow \boxed{t=5}.