Exercițiul 612

E.612. Andrei, Bianca și Cristian merg la piață având 6060 lei. Ei cumpără astfel: Andrei, 44kg de cartofi, 33 kg roșii și 11 kg vinete, Bianca, 66 Kg cartofi, 11 kg roșii și 33 kg vinete, iar Cristian, 88 kg cartofi, 44 kg roșii și 44 kg vinete. Bianca plătește cu 66 lei mai mult decât Andrei, iar Cristian cu 44 lei mai puțin decât Andrei și Bianca la un loc.
a) Aflați cât plătește fiecare copil pentru produsele cumpărate.
b) Aflați cât costă kilogramul din fiecare produs cumpărat.

Olimpiadă, etapa județeană, 2018; etapa locală, Ilfov, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) Andrei 1313 lei , Bianca 1919 lei , Cristian 2828 lei; b) 11 kg cartofi = 22 lei; 11 kg roșii = 11 leu; 11 kg vinete = 22 lei.

Soluție:

a) Notăm cu x,y,zx,y,z cât plătește Andrei, Bianca, respectiv Cristian.

{x+y+z=60(1)y=x+6(2)z=x+y−4(3) \begin{cases} x+y+z=60 \quad (1) \\ y=x+6 \quad (2) \\ z=x+y-4 \quad (3) \end{cases}
Din (1) și (3) ⇒x+y+(x+y−4)=60⇒x+y=32(4).\Rightarrow x+y + (x+y-4)=60 \Rightarrow \boxed{x+y=32} \quad (4).
Din (2) și (4) ⇒x+(x+6)=32⇒x=13⇒(4)y=19⇒(3)z=28.\Rightarrow x+ (x+6)=32 \Rightarrow \boxed{x=13} \overset{(4)}{\Rightarrow} \boxed{y=19} \overset{(3)}{\Rightarrow} \boxed{z=28}.

b) Notăm cu c,r,vc,r,v cât costă un kilogram de cartofi, roșii, respectiv vinete.

{4c+3r+v=13(1)6c+r+3v=19(2)8c+4r+4v=28(3)⇒(1)+(2){10c+4r+4v=328c+4r+4v=28⇒(−)2c=4⇒c=2. \begin{cases} 4c+3r+v = 13 \quad (1) \\ 6c+r+3v=19 \quad (2) \\ 8c+4r+4v=28 \quad (3) \end{cases} \overset{(1)+(2)}{\Rightarrow} \begin{cases} 10c+4r+4v = 32 \\ 8c+4r+4v=28 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 2c=4 \Rightarrow \boxed{c=2}.
Înlocuim pe cc în (1) și (2):
{4⋅8+3r+v=13(1)6⋅2+r+3v=19(2)⇔{3r+v=5∣⋅3r+3v=7⇔{9r+3v=15∣⋅3r+3v=7⇒(−)8r=8⇒r=1. \begin{cases} 4 \cdot 8+3r+v = 13 \quad (1) \\ 6 \cdot 2+r+3v=19 \quad (2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3r+v = 5 \quad | \cdot 3 \\ r+3v=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9r+3v = 15 \quad | \cdot 3 \\ r+3v=7 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 8r=8 \Rightarrow \boxed{r=1}.
1+3v=7⇒v=2.1+3v=7 \Rightarrow \boxed{v=2}.