Exercițiul 614

E.614. Un elev a cumpărat de la o librărie 55 pixuri, 44 creioane și 66 caiete pentru care a plătit 5353 lei. A doua oară a cumpărat 44 pixuri, 55 creioane și 44 caiete pentru care a plătit 4242 lei, iar a treia oară a cumpărat 99 pixuri, 99 creioane și 55 caiete pentru care a plătit 7070 lei. Aflați cât costă un pix, un creion și un caiet.

Rodica Lădar, Olimpiadă, etapa locală, Cluj, 2018; Satu-Mare, 2019; Harghita 2020; Sibiu 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: Un pix - 33 lei, un creion - 22 lei, un caiet - 55 lei.

Soluție:

Notăm cu p,c,ap,c,a prețul unui pix, al unui creion, respectiv al unui caiet.

{5p+4c+6a=53(1)4p+5c+4a=42(2)9p+9c+5a=70(3)⇒(1)+(2){9p+9c+10a=959p+9c+5a=70⇒(−)5a=25⇒a=5. \begin{cases} 5p+4c+6a=53 \quad (1) \\ 4p+5c+4a=42 \quad (2) \\ 9p+9c+5a = 70 \quad (3) \end{cases} \overset{(1)+(2) }{\Rightarrow} \begin{cases} 9p+9c+10a=95 \\ 9p+9c+5a = 70 \end{cases} \overset{(-) }{\Rightarrow} 5a=25 \Rightarrow \boxed{a=5}.
Înlocuim pe aa în (1) și (2):
{5p+4c+6⋅5=534p+5c+4⋅5=42⇔{5p+4c=23∣⋅44p+5c=22∣⋅5⇔{20p+16c=9220p+25c=110⇒(−)9c=18⇒c=2. \begin{cases} 5p+4c+6 \cdot 5=53 \\ 4p+5c+4 \cdot 5=42 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5p+4c=23 \quad | \cdot 4 \\ 4p+5c=22 \quad | \cdot 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 20p+16c=92 \\ 20p+25c=110 \end{cases} \overset{(-) }{\Rightarrow} 9c=18 \Rightarrow \boxed{c=2}.
5p+4⋅2=23⇒p=3.5p+4 \cdot 2 =23 \Rightarrow \boxed{p=3}.