Exercițiul 613

E.613. Două tricouri, un fular și trei căciuli costă 8989 lei, iar patru tricouri, șapte fulare și o căciulă costă 153153 lei.
a) Aflați cât costă, la un loc, un tricou, un fular și o căciulă.
b) Cât costă fiecare dintre articole, știind că un fular costă cu 88 lei mai mult decât unu tricou, iar o căciulă costa cu 22 lei mai puțin decât fularul și tricoul la un loc?

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2018; Sălaj 2018; Galați 2023
Soluție:

a) Notăm cu t,f,ct,f,c numărul de tricouri, fulare, respectiv căciuli.

{2t+f+3c=8934t+7f+c=153{6t+3f+9c=2674t+7f+c=153(+)10(t+f+c)=420t+f+c=42. \begin{cases} 2t+f+3c=89 \quad | \cdot 3 \\ 4t+7f+c=153 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6t+3f+9c=267 \\ 4t+7f+c=153 \end{cases} \overset{(+)}{\Rightarrow} 10(t+f+c)=420 \Rightarrow \boxed{t+f+c=42}.

b) OBS: Punctul b poate fi rezolvat doar cu 33 din cele 44 informații oferite:

{2t+f+3c=894t+7f+c=153f=t+8{2t+t+8+3c=894t+7(t+8)+c=153f=t+8{3t+3c=81:311t+c=97{t+c=2711t+c=97()10t=70t=7. \begin{cases} 2t+f+3c=89 \\ 4t+7f+c=153 \\ f=t+8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2t+t+8+3c=89 \\ 4t+7(t+8)+c=153 \\ f=t+8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3t+3c=81 \quad | :3\\ 11t+c=97 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t+c=27\\ 11t+c=97 \end{cases} \overset{(-)}{\Rightarrow} 10t=70 \Rightarrow \boxed{t=7}.
7+c=27c=20f=15.7+c=27 \Rightarrow \boxed{c=20} \Rightarrow \boxed{f=15}.