Teorema împărțirii cu rest (TIR)

Teorema împărțirii cu rest (TIR)

Folosind schema de împărțire a două numere naturale observăm că, prin împărțirea unui număr (DD) la un număr (I,I≠0I, I\not=0) obținem alte două numere naturale, unic determinate: câtul (CC) și restul (RR).
Teorema împărțirii cu rest (TIR) ne oferă relația dintre aceste patru numere:

D=I⋅C+R,unde 0≤R<ID,I,C,R numere naturale,I≠0D−deıˆmpa˘rțitul;I−impa˘rțitorul;C−caˆtul;R−restul. \begin{aligned} &\boxed{D = I \cdot C + R, \text{unde} \space 0 \leq R \lt I} \\ &D, I, C, R \space \bold{numere \space naturale}, I\not=0 \\ &D - \text{deîmpărțitul}; I- \text{impărțitorul}; C - \text{câtul}; R - \text{restul}. \end{aligned}

Exemplu:
Folosind algoritmul împărțirii a două numere naturale, obținem:

23:4⇒caˆtul 5 și restul 3 23 : 4 \Rightarrow \text{câtul} \space 5 \space \text{și restul} \space 3

Aplicând teorema de mai sus, acest lucru se mai poate scrie astfel:

23=4⋅5+3 23 = 4 \cdot 5 + 3

Remarcăm faptul că este îndeplinită condiția ca restul (33) să fie mai mic decât împarțitorul (44).

Nivel introductiv

E.336. Fie numărul X=1!+2!+3!+…+2024!.X=1!+2!+3!+ \ldots + 2024!. Calculați restul împărțirii lui XX la 10.10.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2024
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Restul împărțirii unui număr la 1010 este egal cu ultima cifră a respectivului număr.

Indicația 2: Începând cu 5!5!, toate numerele conțin factorii 2 și 5, deci au ultima cifră 0.0.

Răspuns: 3.3.

Soluție:

Restul împărțirii unui număr la 1010 este egal cu ultima cifră a respectivului număr.

Începând cu 5!5!, toate numerele conțin factorii 2 și 5, deci au ultima cifră 0.0.
Uc(S)=Uc(1!)+Uc(2!)+Uc(3!)+Uc(4!)+Uc(5!)+…+Uc(2024!)=U_c(S) = U_c(1!)+U_c(2!)+U_c(3!)+U_c(4!)+U_c(5!)+\ldots +U_c(2024!)=
=Uc(1)+Uc(2)+Uc(6)+Uc(24)+0+…+0==U_c(1)+U_c(2)+U_c(6)+U_c(24)+0+\ldots +0=
=Uc(1+2+6+4)=3.=U_c(1+2+6+4) = 3.

E.335. Calculați restul obținut prin împărțirea numărului N=1⋅2⋅3⋅…⋅20+2021N=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 20 + 2021 la 21.21.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Încercăm să scriem ambii termeni ai sumei sub forma unui produs la care unul din factori să fie 21.21.

Indicația 2: N=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅…⋅20+21⋅96+5.N=1 \cdot 2 \cdot \boxed{3}\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \boxed{7} \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + \boxed{21} \cdot 96 + 5.

Răspuns: 5.5.

Soluție:

Încercăm să scriem ambii termeni ai sumei sub forma unui produs la care unul din factori să fie 21:21:
N=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅…⋅20+21⋅96+5=N=1 \cdot 2 \cdot \boxed{3}\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \boxed{7} \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + \boxed{21} \cdot 96 + 5=
=21(1⋅2⋅4⋅5⋅6⋅8⋅…⋅20+96)+5.=21(1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + 96) + 5. Conform TIR, restul cerut este 5.5.

E.338. Fie numerele a=1⋅2⋅3⋅…⋅2019a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2019 și b=1+9+17+…+2017.b=1+9+17+ \ldots +2017. Determinați resturile împărțirilor nummerelor a,a, rerspectiv bb la 2018.2018.

Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2019
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: bb are un număr impar de termeni (adică 253253), iar termenul din mijloc este 8⋅126+1=1009.8 \cdot 126 +1 = 1009. Grupăm primul cu ultimul, al 2-lea cu penultimul etc.

Răspuns: 00, respectiv 1009.1009.

Soluție:

a=1⋅2⋅3⋅…⋅2018⋅2019.a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \boxed{2018} \cdot 2019.
Cum unul dintre factori este 20182018 înseamnă că aa se împarte exact la 2018.2018. Deci restul cerut este 0.0.

b=(8⋅0+1)+(8⋅1+1)+(8⋅2+1)+…+(8⋅252+1)=b=(8 \cdot 0 +1) + (8 \cdot 1 +1) + (8 \cdot 2 +1) + \ldots + (8 \cdot 252 +1)=
8(1+2+3+…+252)+253=8(1+2+3+ \ldots + 252) + 253 =
=8⋅252⋅253:2+253==8 \cdot 252 \cdot 253 : 2 + 253 =
=253(4⋅252+1)=255277=126⋅2018+1009.=253(4 \cdot 252 + 1) = 255277 = 126 \cdot 2018 + 1009. Deci restul cerut este 1009.1009.

Metoda 2
b=(8⋅0+1)+(8⋅1+1)+(8⋅2+1)+…+(8⋅252+1).b=(8 \cdot 0 +1) + (8 \cdot 1 +1) + (8 \cdot 2 +1) + \ldots + (8 \cdot 252 +1).
bb are un număr impar de termeni (adică 253253), iar termenul din mijloc este 8⋅126+1=1009.8 \cdot 126 +1 = 1009. Așadar,
b=(1+2017)+(2+2016)+…⏟126 perechi+1009=b = \underbrace{(1+2017) + (2+2016) + \ldots }_{\text{126 perechi}} + 1009=
=126⋅2018+1009.=126 \cdot 2018 + 1009. Deci restul cerut este 1009.1009.

E.339. Suma resturilor obținute prin împărtirea numerelor 1,2,3,…,n1,2,3, \ldots,n la 77 este egală cu 652.652. Determinați numărul n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=218.n=218.

Soluție:
n=1=0⋅7+1n=2=0⋅7+2...n=6=0⋅7+6n=7=1⋅7+0}⇒grupa 1, suma resturilor = 1+2+…+6=21 \begin{rcases} n=1 = 0 \cdot 7 + 1 \\ n=2 = 0 \cdot 7 + 2 \\ ... \\ n=6 = 0 \cdot 7 + 6 \\ n=7 = 1 \cdot 7 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 1, suma resturilor = 1+2+\ldots+6=21}
n=8=1⋅7+1n=9=1⋅7+2...n=12=1⋅7+6n=13=2⋅7+0}⇒grupa 2, suma resturilor = 21 \begin{rcases} n=8 = 1 \cdot 7 + 1 \\ n=9 = 1 \cdot 7 + 2 \\ ... \\ n=12 = 1 \cdot 7 + 6 \\ n=13 = 2 \cdot 7 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 2, suma resturilor = 21}

...

Observăm că suma resturilor se repetă din 77 în 7.7. Cum 652=21⋅31+1,652 = 21 \cdot 31 + 1, înseamnă că pentru a ajunge la 652652 vom avea nevoie de 3131 grupe de câte 77 numere. Ultima grupă completă va fi:

n=211=30⋅7+1n=212=30⋅7+2...n=216=30⋅7+6n=217=31⋅7+0}⇒grupa 31, suma resturilor = 21 \begin{rcases} n=211 = 30 \cdot 7 + 1 \\ n=212 = 30 \cdot 7 + 2 \\ ... \\ n=216 = 30 \cdot 7 + 6 \\ n=217 = 31 \cdot 7 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 31, suma resturilor = 21}

Până în acest moment avem suma resturilor egală cu 21⋅31=651.21 \cdot 31 = 651. Pentru a ajunge la 652652 mai trebuie să adăugăm un număr:

n=218=31⋅7+1.n=218 = 31 \cdot 7 + 1. Deci răspunsul final este n=218.\boxed{n=218}.

E.340. Suma resturilor obținute prin împărțirea numerelor 1,2,3,…,n1,2,3, \ldots,n la 2121 este egală cu 20166.20166. Determinați valoarea lui n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Arad, 2020
Gheorghe Radu, GM, 2019; Concurs interjudețean 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=2019.n=2019.

Soluție:
n=1=0⋅21+1n=2=0⋅21+2...n=20=0⋅21+20n=21=1⋅21+0}⇒grupa 1, suma resturilor = 1+2+…+20=210 \begin{rcases} n=1 = 0 \cdot 21 + 1 \\ n=2 = 0 \cdot 21 + 2 \\ ... \\ n=20= 0 \cdot 21 + 20 \\ n=21 = 1 \cdot 21 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 1, suma resturilor = 1+2+\ldots+20=210}
n=22=1⋅21+1n=23=1⋅21+2...n=41=1⋅21+20n=42=2⋅21+0}⇒grupa 2, suma resturilor = 210 \begin{rcases} n=22 = 1 \cdot 21 + 1 \\ n=23 = 1 \cdot 21 + 2 \\ ... \\ n=41 = 1 \cdot 21 + 20 \\ n=42 = 2 \cdot 21 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 2, suma resturilor = 210}

...

Observăm că suma resturilor se repetă din 2121 în 21.21. Cum 20166=210⋅96+6,20166 = 210 \cdot 96 + 6, înseamnă că pentru a ajunge la 2016620166 vom avea nevoie de 9696 grupe de câte 2121 numere. Ultima grupă completă va fi:

n=1996=95⋅21+1n=1997=95⋅21+2...n=2015=95⋅21+20n=2016=95⋅21+0}⇒grupa 96, suma resturilor = 210 \begin{rcases} n=1996 = 95 \cdot 21 + 1 \\ n=1997 = 95 \cdot 21 + 2 \\ ... \\ n=2015 = 95 \cdot 21 + 20 \\ n=2016 = 95 \cdot 21 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 96, suma resturilor = 210}

Până în acest moment avem suma resturilor egală cu 210⋅96=20160.210 \cdot 96 = 20160. Pentru a ajunge la 2016620166 mai trebuie să adăugăm 33 numere:

n=2017=96⋅21+1n=2018=96⋅21+2n=2019=96⋅21+3}⇒suma resturilor = 6 \begin{rcases} n=2017 = 96 \cdot 21 + 1 \\ n=2018 = 96 \cdot 21 + 2 \\ n=2019 = 96 \cdot 21 + 3 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {suma resturilor = 6}

Deci răspunsul final este n=2019.\boxed{n=2019}.

E.343. Calculațiu restul împărțirii numărului abcd‾+bcda‾+cdab‾+dabc‾\overline{abcd} + \overline{bcda} + \overline{cdab} + \overline{dabc} la 11.11.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: 0.0.

Soluție:

abcd‾+bcda‾+cdab‾+dabc‾=\overline{abcd} + \overline{bcda} + \overline{cdab} + \overline{dabc}=
=1111a+1111b+1111c+1111d=11⋅101⋅(a+b+c+d)=1111a+1111b+1111c+1111d =11 \cdot 101 \cdot (a+b+c+d)
Numărul dat se împarte exact la 11,11, deci restul cerut este 0.0.

E.344. a) Calculațiu restul împărțirii numărului 57⋅806+10057 \cdot 806 + 100 la 57.57.
b) Calculațiu restul împărțirii numărului 57⋅806−10057 \cdot 806 - 100 la 57.57.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2023 (adaptare)
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 43;43; b) 14.14.

Soluție:

a) 57⋅806+100=57 \cdot 806 + 100 =
=57⋅806+57+43== 57 \cdot 806 + 57 + 43 =
=57(806+1)+43.= 57(806+1) + 43. Deci restul este 43;43;

b) 57⋅806−100=57 \cdot 806 - 100 =
=57(804+2)−100==57(804+2) - 100 =
=57⋅804+57⋅2−100== 57 \cdot 804 + 57 \cdot 2 - 100 =
=57⋅804+14.= 57 \cdot 804 + 14. Deci restul este 14.14.

E.345. Aflați suma numerelor naturale care împărțite la 55 dau câtul egal cu cubul restului.
Notă. Prin cubul unui număr natural nn înțelegem n3,n^3, adică n⋅ n⋅n.n \cdot\ n \cdot n. De exemplu, cubul lui 22 este 88.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Dacă împărtitorul este 5,5, putem avea doar resturile 0,1,2,3,4.0,1,2,3,4.

Răspuns: 510.510.

Soluție:

Dacă împărtitorul este 5,5, putem avea doar următoarele resturi:

  • R1=0⇒C1=03=0⇒N1=5⋅0+0=0;R_1=0 \Rightarrow C_1=0^3=0 \Rightarrow N_1=5 \cdot 0 + 0 = 0;
  • R2=1⇒C2=13=1⇒N2=5⋅1+1=6;R_2=1 \Rightarrow C_2=1^3=1 \Rightarrow N_2=5 \cdot 1 + 1 = 6;
  • R3=2⇒C3=23=8⇒N3=5⋅8+2=42;R_3=2 \Rightarrow C_3=2^3=8 \Rightarrow N_3=5 \cdot 8 + 2 = 42;
  • R4=3⇒C4=33=27⇒N4=5⋅27+3=138;R_4=3 \Rightarrow C_4=3^3=27 \Rightarrow N_4=5 \cdot 27 + 3 = 138;
  • R5=4⇒C5=43=64⇒N5=5⋅64+4=324.R_5=4 \Rightarrow C_5=4^3=64 \Rightarrow N_5=5 \cdot 64 + 4 = 324.

S=0+6+42+138+324=510.S=0+6+42+138+324 = 510.

E.346. Dacă numerele naturale a,b,c,da,b,c,d satisfac relațiile a+b=c+d=b+c+1=21,a+b=c+d=b+c+1=21, calculați restul împărțirii numărului a+10b+11c+2da+10b+11c+2d la a+d.a+d.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1.1.

Soluție:

Din ipoteză avem:

  • a+b=21a+b=21 \quad (1)
  • c+d=21c+d=21 \quad (2)
  • b+c=20.b+c=20.

Vom încerca să rescriem enunțul astfel încât să ne apară aceste sume:
a+10b+11c+2d=a+10b+11c+2d =
=(a+b)+(9b+9c)+(2c+2d)==(a+b) + (9b+9c) + (2c+2d)=
=(a+b)+9(b+c)+2(c+d)==(a+b) + 9(b+c) + 2(c+d)=
=21+9⋅20+2⋅21=243.=21 + 9 \cdot 20 + 2 \cdot 21 = 243. Deci a+10b+11c+2d=243.\boxed{a+10b+11c+2d = 243}.

Din (1) + (2) obținem (a+d)+(b+c)=42⇒a+d=22.(a+d) + (b+c) = 42 \Rightarrow \boxed {a+d=22}.

Așadar, (a+10b+11c+2d):(a+d)=243:22=11,(a+10b+11c+2d):(a+d) = 243:22=11, rest 1.1.

E.347. Determinați numerele naturale nn care prin împărțire la 1313 dau câtul de 55 ori mai mare decât restul și prin împărțire la 1919 dau câtul de 4 ori mai mare decât restul.

Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2020
Victor Săceanu, GM 10/2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: n∈{0;462}.n\in \{0; 462\}.

Soluție:
{n=13⋅(5⋅R1)+R1, cu R1<13n=19⋅(4⋅R2)+R2, cu R2<19 \begin{cases} n=13\cdot(5 \cdot R_1) + R_1, \text{ cu } R_1<13 \\ n=19\cdot(4 \cdot R_2) + R_2, \text{ cu } R_2<19 \\ \end{cases}
{n=(13⋅5+1)⋅R1=66R1n=(19⋅4+1)⋅R2=77R2 \begin{cases} n=(13\cdot 5+1) \cdot R_1 = 66R_1 \\ n=(19\cdot 4+1) \cdot R_2 = 77R_2 \end{cases}

Deci 66R1=77R2,66R_1 = 77R_2, sau 6R1=7R2.\boxed{6R_1 = 7R_2}.
Cum R1R_1 este un multiplu de 77 și R1<13⇒R1∈{0,7}.R_1<13 \Rightarrow R_1 \in \{0, 7\}.

  • R1=0⇒n=66⋅0=0;R_1=0 \Rightarrow n=66 \cdot 0 = 0;
  • R7=0⇒n=66⋅7=462.R_7=0 \Rightarrow n=66 \cdot 7 = 462.

Așadar, n∈{0;462}.\boxed{n \in \{0; 462\}}.

E.348. Determinați numerele naturale n=ab‾,n=\overline{ab}, știind că prin împărțire la 44 dau restul 11 și prin împărțire la 33 dau restul 2.2.

Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2020
Vasile Scurtu
Răspuns | Soluție

Răspuns: ab‾∈{17,29,41,53,65,77,89}.\overline{ab}\in \{17,29,41,53,65,77,89 \}.

Soluție:
{ab‾=4⋅C1+1∣⋅3ab‾=3⋅C2+2∣⋅4 \begin{cases} \overline{ab} = 4 \cdot C_1+1 \quad | \cdot 3 \\ \overline{ab} = 3 \cdot C_2+2 \quad | \cdot 4 \end{cases}
{3⋅ab‾=12⋅C1+34⋅ab‾=12⋅C2+8 \begin{cases} 3 \cdot\overline{ab} = 12 \cdot C_1+3 \\ 4 \cdot \overline{ab} = 12 \cdot C_2+8 \end{cases}

Prin scădere obținem ab‾=12(C2−C1)+5.\overline{ab} = 12(C_2-C_1)+5. Cum ab‾\overline{ab} are două cifre, avem cazurile:

  • C2−C1=1⇒ab‾=12⋅1+5=17;C_2-C_1=1 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 1 + 5 = 17;
  • C2−C2=1⇒ab‾=12⋅2+5=29;C_2-C_2=1 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 2 + 5 = 29;
  • ...
  • C2−C1=7⇒ab‾=12⋅7+5=89;C_2-C_1=7 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 7 + 5 = 89;

Așadar, ab‾∈{17,29,41,53,65,77,89}.\boxed{\overline{ab} \in \{17,29,41,53,65,77,89 \}}.

E.356. Aflați câtul și restul împărțirii numărului 101!−1101!-1 la 2020.2020.

Art, Matematică pentru excelență, 9/20
Răspuns | Soluție

Răspuns: Câtul este 99!⋅5−1;99! \cdot 5 - 1; restul este 2019.2019.

Soluție:

101!−1=101!-1 =
=99!⋅100⋅101−1== 99! \cdot 100 \cdot 101 - 1 =
=99!⋅5⋅20⋅101−1== 99! \cdot 5 \cdot 20 \cdot 101 - 1 =
=99!⋅5⋅2020−2020+2020−1== 99! \cdot 5 \cdot 2020 - 2020 + 2020 -1 =
=2020(99!⋅5−1)+2019.= 2020(99! \cdot 5 - 1) + 2019.

Deci câtul este 99!⋅5−1,99! \cdot 5 - 1, iar restul este 2019.2019.

E.357. Arătați că suma resturilor împărțirii unui număr abc‾\overline{abc} la aa, b,b, respectiv cc nu poate fi 23.23.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2018
Soluție
Soluție:
  • abc‾=a⋅C1+R1,\overline{abc} = a \cdot C_1 + R_1, cu R1<a,R_1<a, adică R1≤8;R_1\leq 8;
  • abc‾=b⋅C2+R2,\overline{abc} = b \cdot C_2 + R_2, cu R2<b,R_2<b, adică R2≤8;R_2\leq 8;
  • abc‾=c⋅C3+R3,\overline{abc} = c \cdot C_3 + R_3, cu R3<c,R_3<c, adică R3≤8.R_3\leq 8.

Deci R1+R2+R3≤24.\boxed{R_1+R_2+R_3 \leq 24}.

Pentru ca suma resturilor să fie 2323 trebuie ca două dintre resturi să fie 8,8, iar al treilea să fie 77.
În consecință, două dintre cifrele a,b,ca,b,c trebuie să fie 9,9, iar a treia trebuie să fie 88 sau 9.9.

  • Pentru abc‾=999,\overline{abc} = 999, avem 999:9=111,999:9=111, rest 0\textbf{0} ⇒R1+R2+R3=0\Rightarrow \boxed{R_1+R_2+R_3=0};
  • Pentru abc‾=899,\overline{abc} = 899, avem 899:9=99,899:9=99, rest 8;\textbf{8}; 899:8=112,899:8=112, rest 3\textbf{3} ⇒R1+R2+R3=19\Rightarrow \boxed{R_1+R_2+R_3=19};
  • Pentru abc‾=989,\overline{abc} =989, avem 989:9=109,989:9=109, rest 8;\textbf{8}; 989:8=123,989:8=123, rest 5\textbf{5} ⇒R1+R2+R3=21\Rightarrow \boxed{R_1+R_2+R_3=21};
  • Pentru abc‾=998,\overline{abc} =998, avem 998:9=110,998:9=110, rest 8;\textbf{8}; 998:8=124,998:8=124, rest 6\textbf{6} ⇒R1+R2+R3=22\Rightarrow \boxed{R_1+R_2+R_3=22}.

În concluzie, suma resturilor nu poate fi 23.23.

Nume CreatLa (UTC)
Tema5: Teorema împărțirii cu rest (TIR) 21-10-2024 17:18
Curs6: Teorema împărțirii cu rest (TIR) 25-10-2024 16:09