Exercițiul 346

E.346. Dacă numerele naturale a,b,c,da,b,c,d satisfac relațiile a+b=c+d=b+c+1=21,a+b=c+d=b+c+1=21, calculați restul împărțirii numărului a+10b+11c+2da+10b+11c+2d la a+d.a+d.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1.1.

Soluție:

Din ipoteză avem:

  • a+b=21a+b=21 \quad (1)
  • c+d=21c+d=21 \quad (2)
  • b+c=20.b+c=20.

Vom încerca să rescriem enunțul astfel încât să ne apară aceste sume:
a+10b+11c+2d=a+10b+11c+2d =
=(a+b)+(9b+9c)+(2c+2d)==(a+b) + (9b+9c) + (2c+2d)=
=(a+b)+9(b+c)+2(c+d)==(a+b) + 9(b+c) + 2(c+d)=
=21+9⋅20+2⋅21=243.=21 + 9 \cdot 20 + 2 \cdot 21 = 243. Deci a+10b+11c+2d=243.\boxed{a+10b+11c+2d = 243}.

Din (1) + (2) obținem (a+d)+(b+c)=42⇒a+d=22.(a+d) + (b+c) = 42 \Rightarrow \boxed {a+d=22}.

Așadar, (a+10b+11c+2d):(a+d)=243:22=11,(a+10b+11c+2d):(a+d) = 243:22=11, rest 1.1.