Exercițiul 347

E.347. Determinați numerele naturale nn care prin împărțire la 1313 dau câtul de 55 ori mai mare decât restul și prin împărțire la 1919 dau câtul de 4 ori mai mare decât restul.

Olimpiadă, etapa locală, Vâlcea, 2020
Victor Săceanu, GM 10/2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: n∈{0;462}.n\in \{0; 462\}.

Soluție:
{n=13⋅(5⋅R1)+R1, cu R1<13n=19⋅(4⋅R2)+R2, cu R2<19 \begin{cases} n=13\cdot(5 \cdot R_1) + R_1, \text{ cu } R_1<13 \\ n=19\cdot(4 \cdot R_2) + R_2, \text{ cu } R_2<19 \\ \end{cases}
{n=(13⋅5+1)⋅R1=66R1n=(19⋅4+1)⋅R2=77R2 \begin{cases} n=(13\cdot 5+1) \cdot R_1 = 66R_1 \\ n=(19\cdot 4+1) \cdot R_2 = 77R_2 \end{cases}

Deci 66R1=77R2,66R_1 = 77R_2, sau 6R1=7R2.\boxed{6R_1 = 7R_2}.
Cum R1R_1 este un multiplu de 77 și R1<13⇒R1∈{0,7}.R_1<13 \Rightarrow R_1 \in \{0, 7\}.

  • R1=0⇒n=66⋅0=0;R_1=0 \Rightarrow n=66 \cdot 0 = 0;
  • R7=0⇒n=66⋅7=462.R_7=0 \Rightarrow n=66 \cdot 7 = 462.

Așadar, n∈{0;462}.\boxed{n \in \{0; 462\}}.