Exercițiul 340

E.340. Suma resturilor obținute prin împărțirea numerelor 1,2,3,…,n1,2,3, \ldots,n la 2121 este egală cu 20166.20166. Determinați valoarea lui n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Arad, 2020
Gheorghe Radu, GM, 2019; Concurs interjudețean 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=2019.n=2019.

Soluție:
n=1=0⋅21+1n=2=0⋅21+2...n=20=0⋅21+20n=21=1⋅21+0}⇒grupa 1, suma resturilor = 1+2+…+20=210 \begin{rcases} n=1 = 0 \cdot 21 + 1 \\ n=2 = 0 \cdot 21 + 2 \\ ... \\ n=20= 0 \cdot 21 + 20 \\ n=21 = 1 \cdot 21 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 1, suma resturilor = 1+2+\ldots+20=210}
n=22=1⋅21+1n=23=1⋅21+2...n=41=1⋅21+20n=42=2⋅21+0}⇒grupa 2, suma resturilor = 210 \begin{rcases} n=22 = 1 \cdot 21 + 1 \\ n=23 = 1 \cdot 21 + 2 \\ ... \\ n=41 = 1 \cdot 21 + 20 \\ n=42 = 2 \cdot 21 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 2, suma resturilor = 210}

...

Observăm că suma resturilor se repetă din 2121 în 21.21. Cum 20166=210⋅96+6,20166 = 210 \cdot 96 + 6, înseamnă că pentru a ajunge la 2016620166 vom avea nevoie de 9696 grupe de câte 2121 numere. Ultima grupă completă va fi:

n=1996=95⋅21+1n=1997=95⋅21+2...n=2015=95⋅21+20n=2016=95⋅21+0}⇒grupa 96, suma resturilor = 210 \begin{rcases} n=1996 = 95 \cdot 21 + 1 \\ n=1997 = 95 \cdot 21 + 2 \\ ... \\ n=2015 = 95 \cdot 21 + 20 \\ n=2016 = 95 \cdot 21 + 0 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 96, suma resturilor = 210}

Până în acest moment avem suma resturilor egală cu 210⋅96=20160.210 \cdot 96 = 20160. Pentru a ajunge la 2016620166 mai trebuie să adăugăm 33 numere:

n=2017=96⋅21+1n=2018=96⋅21+2n=2019=96⋅21+3}⇒suma resturilor = 6 \begin{rcases} n=2017 = 96 \cdot 21 + 1 \\ n=2018 = 96 \cdot 21 + 2 \\ n=2019 = 96 \cdot 21 + 3 \\ \end{rcases} \Rightarrow \text {suma resturilor = 6}

Deci răspunsul final este n=2019.\boxed{n=2019}.