Exercițiul 356

E.356. Aflați câtul și restul împărțirii numărului 101!−1101!-1 la 2020.2020.

Art, Matematică pentru excelență, 9/20
Răspuns | Soluție

Răspuns: Câtul este 99!⋅5−1;99! \cdot 5 - 1; restul este 2019.2019.

Soluție:

101!−1=101!-1 =
=99!⋅100⋅101−1== 99! \cdot 100 \cdot 101 - 1 =
=99!⋅5⋅20⋅101−1== 99! \cdot 5 \cdot 20 \cdot 101 - 1 =
=99!⋅5⋅2020−2020+2020−1== 99! \cdot 5 \cdot 2020 - 2020 + 2020 -1 =
=2020(99!⋅5−1)+2019.= 2020(99! \cdot 5 - 1) + 2019.

Deci câtul este 99!⋅5−1,99! \cdot 5 - 1, iar restul este 2019.2019.