Exercițiul 345

E.345. Aflați suma numerelor naturale care împărțite la 55 dau câtul egal cu cubul restului.
Notă. Prin cubul unui număr natural nn înțelegem n3,n^3, adică n⋅ n⋅n.n \cdot\ n \cdot n. De exemplu, cubul lui 22 este 88.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Dacă împărtitorul este 5,5, putem avea doar resturile 0,1,2,3,4.0,1,2,3,4.

Răspuns: 510.510.

Soluție:

Dacă împărtitorul este 5,5, putem avea doar următoarele resturi:

  • R1=0⇒C1=03=0⇒N1=5⋅0+0=0;R_1=0 \Rightarrow C_1=0^3=0 \Rightarrow N_1=5 \cdot 0 + 0 = 0;
  • R2=1⇒C2=13=1⇒N2=5⋅1+1=6;R_2=1 \Rightarrow C_2=1^3=1 \Rightarrow N_2=5 \cdot 1 + 1 = 6;
  • R3=2⇒C3=23=8⇒N3=5⋅8+2=42;R_3=2 \Rightarrow C_3=2^3=8 \Rightarrow N_3=5 \cdot 8 + 2 = 42;
  • R4=3⇒C4=33=27⇒N4=5⋅27+3=138;R_4=3 \Rightarrow C_4=3^3=27 \Rightarrow N_4=5 \cdot 27 + 3 = 138;
  • R5=4⇒C5=43=64⇒N5=5⋅64+4=324.R_5=4 \Rightarrow C_5=4^3=64 \Rightarrow N_5=5 \cdot 64 + 4 = 324.

S=0+6+42+138+324=510.S=0+6+42+138+324 = 510.