Exercițiul 338

E.338. Fie numerele a=1⋅2⋅3⋅…⋅2019a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2019 și b=1+9+17+…+2017.b=1+9+17+ \ldots +2017. Determinați resturile împărțirilor nummerelor a,a, rerspectiv bb la 2018.2018.

Olimpiadă, etapa locală, Dolj, 2019
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: bb are un număr impar de termeni (adică 253253), iar termenul din mijloc este 8⋅126+1=1009.8 \cdot 126 +1 = 1009. Grupăm primul cu ultimul, al 2-lea cu penultimul etc.

Răspuns: 00, respectiv 1009.1009.

Soluție:

a=1⋅2⋅3⋅…⋅2018⋅2019.a=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \boxed{2018} \cdot 2019.
Cum unul dintre factori este 20182018 înseamnă că aa se împarte exact la 2018.2018. Deci restul cerut este 0.0.

b=(8⋅0+1)+(8⋅1+1)+(8⋅2+1)+…+(8⋅252+1)=b=(8 \cdot 0 +1) + (8 \cdot 1 +1) + (8 \cdot 2 +1) + \ldots + (8 \cdot 252 +1)=
8(1+2+3+…+252)+253=8(1+2+3+ \ldots + 252) + 253 =
=8⋅252⋅253:2+253==8 \cdot 252 \cdot 253 : 2 + 253 =
=253(4⋅252+1)=255277=126⋅2018+1009.=253(4 \cdot 252 + 1) = 255277 = 126 \cdot 2018 + 1009. Deci restul cerut este 1009.1009.

Metoda 2
b=(8⋅0+1)+(8⋅1+1)+(8⋅2+1)+…+(8⋅252+1).b=(8 \cdot 0 +1) + (8 \cdot 1 +1) + (8 \cdot 2 +1) + \ldots + (8 \cdot 252 +1).
bb are un număr impar de termeni (adică 253253), iar termenul din mijloc este 8⋅126+1=1009.8 \cdot 126 +1 = 1009. Așadar,
b=(1+2017)+(2+2016)+…⏟126 perechi+1009=b = \underbrace{(1+2017) + (2+2016) + \ldots }_{\text{126 perechi}} + 1009=
=126⋅2018+1009.=126 \cdot 2018 + 1009. Deci restul cerut este 1009.1009.