E.339. Suma resturilor obținute prin împărtirea numerelor 1 , 2 , 3 , … , n 1,2,3, \ldots,n 1 , 2 , 3 , … , n 7 7 7 652. 652. 652. n . n. n .
Olimpiadă, etapa locală, Mehedinți, 2020
Soluție:
n = 1 = 0 ⋅ 7 + 1 n = 2 = 0 ⋅ 7 + 2 . . . n = 6 = 0 ⋅ 7 + 6 n = 7 = 1 ⋅ 7 + 0 } ⇒ grupa 1, suma resturilor = 1+2+ … +6=21
\begin{rcases}
n=1 = 0 \cdot 7 + 1 \\
n=2 = 0 \cdot 7 + 2 \\
... \\
n=6 = 0 \cdot 7 + 6 \\
n=7 = 1 \cdot 7 + 0 \\
\end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 1, suma resturilor = 1+2+\ldots+6=21}
n = 1 = 0 ⋅ 7 + 1 n = 2 = 0 ⋅ 7 + 2 ... n = 6 = 0 ⋅ 7 + 6 n = 7 = 1 ⋅ 7 + 0 ⎭ ⎬ ⎫ ⇒ grupa 1, suma resturilor = 1+2+ … +6=21 n = 8 = 1 ⋅ 7 + 1 n = 9 = 1 ⋅ 7 + 2 . . . n = 12 = 1 ⋅ 7 + 6 n = 13 = 2 ⋅ 7 + 0 } ⇒ grupa 2, suma resturilor = 21
\begin{rcases}
n=8 = 1 \cdot 7 + 1 \\
n=9 = 1 \cdot 7 + 2 \\
... \\
n=12 = 1 \cdot 7 + 6 \\
n=13 = 2 \cdot 7 + 0 \\
\end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 2, suma resturilor = 21}
n = 8 = 1 ⋅ 7 + 1 n = 9 = 1 ⋅ 7 + 2 ... n = 12 = 1 ⋅ 7 + 6 n = 13 = 2 ⋅ 7 + 0 ⎭ ⎬ ⎫ ⇒ grupa 2, suma resturilor = 21 ...
Observăm că suma resturilor se repetă din 7 7 7 7. 7. 7. 652 = 21 ⋅ 31 + 1 , 652 = 21 \cdot 31 + 1, 652 = 21 ⋅ 31 + 1 , 652 652 652 31 31 31 7 7 7
n = 211 = 30 ⋅ 7 + 1 n = 212 = 30 ⋅ 7 + 2 . . . n = 216 = 30 ⋅ 7 + 6 n = 217 = 31 ⋅ 7 + 0 } ⇒ grupa 31, suma resturilor = 21
\begin{rcases}
n=211 = 30 \cdot 7 + 1 \\
n=212 = 30 \cdot 7 + 2 \\
... \\
n=216 = 30 \cdot 7 + 6 \\
n=217 = 31 \cdot 7 + 0 \\
\end{rcases} \Rightarrow \text {grupa 31, suma resturilor = 21}
n = 211 = 30 ⋅ 7 + 1 n = 212 = 30 ⋅ 7 + 2 ... n = 216 = 30 ⋅ 7 + 6 n = 217 = 31 ⋅ 7 + 0 ⎭ ⎬ ⎫ ⇒ grupa 31, suma resturilor = 21 Până în acest moment avem suma resturilor egală cu 21 ⋅ 31 = 651. 21 \cdot 31 = 651. 21 ⋅ 31 = 651. 652 652 652
n = 218 = 31 ⋅ 7 + 1. n=218 = 31 \cdot 7 + 1. n = 218 = 31 ⋅ 7 + 1. n = 218 . \boxed{n=218}. n = 218 .