Exercițiul 357

E.357. Arătați că suma resturilor împărțirii unui număr abc‾\overline{abc} la aa, b,b, respectiv cc nu poate fi 23.23.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2018
Soluție
Soluție:
  • abc‾=a⋅C1+R1,\overline{abc} = a \cdot C_1 + R_1, cu R1<a,R_1<a, adică R1≤8;R_1\leq 8;
  • abc‾=b⋅C2+R2,\overline{abc} = b \cdot C_2 + R_2, cu R2<b,R_2<b, adică R2≤8;R_2\leq 8;
  • abc‾=c⋅C3+R3,\overline{abc} = c \cdot C_3 + R_3, cu R3<c,R_3<c, adică R3≤8.R_3\leq 8.

Deci R1+R2+R3≤24.\boxed{R_1+R_2+R_3 \leq 24}.

Pentru ca suma resturilor să fie 2323 trebuie ca două dintre resturi să fie 8,8, iar al treilea să fie 77.
În consecință, două dintre cifrele a,b,ca,b,c trebuie să fie 9,9, iar a treia trebuie să fie 88 sau 9.9.

  • Pentru abc‾=999,\overline{abc} = 999, avem 999:9=111,999:9=111, rest 0\textbf{0} ⇒R1+R2+R3=0\Rightarrow \boxed{R_1+R_2+R_3=0};
  • Pentru abc‾=899,\overline{abc} = 899, avem 899:9=99,899:9=99, rest 8;\textbf{8}; 899:8=112,899:8=112, rest 3\textbf{3} ⇒R1+R2+R3=19\Rightarrow \boxed{R_1+R_2+R_3=19};
  • Pentru abc‾=989,\overline{abc} =989, avem 989:9=109,989:9=109, rest 8;\textbf{8}; 989:8=123,989:8=123, rest 5\textbf{5} ⇒R1+R2+R3=21\Rightarrow \boxed{R_1+R_2+R_3=21};
  • Pentru abc‾=998,\overline{abc} =998, avem 998:9=110,998:9=110, rest 8;\textbf{8}; 998:8=124,998:8=124, rest 6\textbf{6} ⇒R1+R2+R3=22\Rightarrow \boxed{R_1+R_2+R_3=22}.

În concluzie, suma resturilor nu poate fi 23.23.