Exercițiul 335

E.335. Calculați restul obținut prin împărțirea numărului N=1⋅2⋅3⋅…⋅20+2021N=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 20 + 2021 la 21.21.

Model subiect olimpiadă, GM, 2021
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Încercăm să scriem ambii termeni ai sumei sub forma unui produs la care unul din factori să fie 21.21.

Indicația 2: N=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅…⋅20+21⋅96+5.N=1 \cdot 2 \cdot \boxed{3}\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \boxed{7} \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + \boxed{21} \cdot 96 + 5.

Răspuns: 5.5.

Soluție:

Încercăm să scriem ambii termeni ai sumei sub forma unui produs la care unul din factori să fie 21:21:
N=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅…⋅20+21⋅96+5=N=1 \cdot 2 \cdot \boxed{3}\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \boxed{7} \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + \boxed{21} \cdot 96 + 5=
=21(1⋅2⋅4⋅5⋅6⋅8⋅…⋅20+96)+5.=21(1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 20 + 96) + 5. Conform TIR, restul cerut este 5.5.