Exercițiul 348

E.348. Determinați numerele naturale n=ab‾,n=\overline{ab}, știind că prin împărțire la 44 dau restul 11 și prin împărțire la 33 dau restul 2.2.

Olimpiadă, etapa locală, Brăila, 2020
Vasile Scurtu
Răspuns | Soluție

Răspuns: ab‾∈{17,29,41,53,65,77,89}.\overline{ab}\in \{17,29,41,53,65,77,89 \}.

Soluție:
{ab‾=4⋅C1+1∣⋅3ab‾=3⋅C2+2∣⋅4 \begin{cases} \overline{ab} = 4 \cdot C_1+1 \quad | \cdot 3 \\ \overline{ab} = 3 \cdot C_2+2 \quad | \cdot 4 \end{cases}
{3⋅ab‾=12⋅C1+34⋅ab‾=12⋅C2+8 \begin{cases} 3 \cdot\overline{ab} = 12 \cdot C_1+3 \\ 4 \cdot \overline{ab} = 12 \cdot C_2+8 \end{cases}

Prin scădere obținem ab‾=12(C2−C1)+5.\overline{ab} = 12(C_2-C_1)+5. Cum ab‾\overline{ab} are două cifre, avem cazurile:

  • C2−C1=1⇒ab‾=12⋅1+5=17;C_2-C_1=1 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 1 + 5 = 17;
  • C2−C2=1⇒ab‾=12⋅2+5=29;C_2-C_2=1 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 2 + 5 = 29;
  • ...
  • C2−C1=7⇒ab‾=12⋅7+5=89;C_2-C_1=7 \Rightarrow \overline{ab}=12 \cdot 7 + 5 = 89;

Așadar, ab‾∈{17,29,41,53,65,77,89}.\boxed{\overline{ab} \in \{17,29,41,53,65,77,89 \}}.