Ultima cifră a unei puteri

$N=7[1+(\underbrace{4+4^2}_{20}) + 4^2(\underbrace{4+4^2}_{20}) + \ldots + 4^8(\underbrace{4+4^2}_{20})]=$
$=7[1+20(1+4^2 + \ldots + 4^8)] \Rightarrow \boxed{U_c(N)=7}.$

Metoda 2: $N=7(4^{10} + 4^9+4^8 + \ldots + 4 + 1)= 7 \cdot (4^{11}-1):3.$
$U_c(N) = U_c[7 \cdot (4-1):3] =7.$

$S=15 + 15^2(1+15) + 15^4(1+15) + \ldots + 15^{1514}(1+15)=$
$=15 + 15^2 \cdot 16(1+15^2+15^4 + \ldots + 15^{1512}).$

$15^2 \cdot 16 = 3600 \Rightarrow \boxed{U_{2c}(S)=15}.$

Metoda 2:

• $U_{2c}(15^2)=25;$
• $U_{2c}(15^3)=U_{2c}(25 \cdot 15)=75;$
• $U_{2c}(15^4)=U_{2c}(75 \cdot 15)=25$ (se repetă).

Prin urmare, avem regula:

• $U_{2c}$ pentru $15$ la puteri pare este $25;$
• $U_{2c}$ pentru $15$ la puteri impare este $75;$

$S=15+\underbrace{(15^2+15^3)}_{U_{2c}=00}+\underbrace{(15^4+15^5)}_{U_{2c}=00}+ \ldots + \underbrace{(15^{1514}+15^{1515})}_{U_{2c}=00} \Rightarrow \boxed{U_{2c}(S)=15}.$

$a=2^{2011}(2^7-2-1) = 2^{2011} \cdot 125=2^{2008} \cdot (2 \cdot 5)^3.$
Cum $U_c(2^{2008}) = U_c(2^4)=6 \Rightarrow \boxed{U_{4c}(a)=4,0,0,0}.$

$a=2^{2019}(2^7-2-1) = 2^{2019} \cdot 125=2^{2016} \cdot (2 \cdot 5)^3.$

$n=5^{2014}(5^4-5^3+2 \cdot 5 + 2) = 5^{2014} \cdot 512 = 5^{2005} \cdot (5 \cdot 2)^9$.
Cu $U_{2c}(5^{2005} = 25) \Rightarrow \boxed{U_{11c}(n) = 25\underbrace{00 \ldots 0}_{\text{9 de 0}}}.$

$n=5^{2016}(5^4-5^3+2 \cdot 5 + 514) = 5^{2016} \cdot 1024 = 5^{2006} \cdot (5 \cdot 2)^{10}.$
Cum $U_{2c}(5^{2006}) = 25 \Rightarrow \boxed{U_{12c}(n) = 25\underbrace{00 \ldots 0}_{\text{10 de 0}}}.$

$a=1+3+5+ \ldots + 2019.$
$a=2019+2017+2017+ \ldots + 1.$
Suma are $(2019-1):2+1 =1010$ termeni. Prin adunare obținem $2a = 1010 \cdot 2020 \Rightarrow \boxed{a=1010^2}.$

$b=2(1+2+3+ \ldots+1010),$ deci $b=\boxed{1010 \cdot 1011}.$

$U_c(a+6) =6 \Rightarrow \boxed{U_c((a+6)^b)=6}.$

$a=23^{4n+2}(23+8)+101=$
$=23^{4n+2} \cdot 31 + 3 \cdot 31 + 8=$
$=31(23^{4n+2}+3) + 8.$ Deci câtul împărțirii lui $a$ la $31$ este $23^{4n+2}+3.$ Notăm acest cât cu C.

$U_c(23^{4n+2}) = U_c(3^{4n+2}) =U_c(3^2) = 9.$
$U_c(C) = U_c(9+3)=2.$

$U_c(A) = U_c(7 \cdot 1 + 3) = 0.$

Metoda 2 (soluția oficială)
$(2^n+5^m)^{2016}=(2^n+5^m) \cdot (2^n+5^m) \cdot \ldots \cdot (2^n+5^m) = (2^n)^{2016} + 2^n \cdot 5^m \cdot k + (5^m)^{2016},$ unde $k$ este un număr natural.
$U_c\big[(2^n+5^m)^{2016}\big] = U_c\big[(2^n)^{2016} + 0 + 5\big] = 1.$
$U_c(A) = U_c(7 \cdot 1 + 3) = 0.$

Considerăm suma: $\underbrace{(a_1+a_2)}_{n_1} + \underbrace{(a_2+a_3)}_{n_2} + \ldots + \underbrace{(a_{2019}+a_1)}_{n_{2019}} = 2(a_1+a_2 + \ldots +a_{2019}).$
Cum această sumă este pară, înseamnă că cel puțin unul din termenii $n_1, n_2, \ldots, n_{2019}$ este par.
Prin urmare, și produsul $(a_1+a_2)(a_2+a_3)(a_3+a_4) \ldots (a_{2019}+a_1)$ va fi un număr par.

Cum $U_c(4^{2k})=6 \Rightarrow \boxed{U_c(N)=5}.$

• $\boxed{U_c(2020^n)=0};$
• $n^2+n = n(n+1)$ este număr par $\Rightarrow \boxed{Uc(2019^{n^2+n})=1};$
• Un pătrat perfect este de forma $4k$ sau $4k+1 \Rightarrow \boxed{U_c(2018^{n^2}) = 6 \text{ sau } 8}.$

$\Rightarrow \boxed{U_c(A) = 7 \text{ sau } 9}.$

Știm că prin ridicarea la putere putem obține ultima cifră $9$ în următoarele cazuri:

• $9^1, 9^3, 9^5, \ldots, 9^{2k+1}$ ($9$ la puteri impare);
• $3^2, 3^6, 3^{10}, \ldots, 3^{4k+2}$ ($3$ la puteri de forma $4k+2$);
• $7^2, 7^6, 7^{10}, \ldots, 7^{4k+2}$ ($7$ la puteri de forma $4k+2$);

Cum $9102 = 4 \cdot 2275 +2 \Rightarrow 9102$ este de forma $4k+2 \Rightarrow \boxed{n \in \{3, 7\}}.$

• $n=3 \Rightarrow U_c(3^{2020}) = U_c(3^4)=1;$
• $n=7 \Rightarrow U_c(7^{2020}) = U_c(7^4)=1;$

Deci $\boxed{U_c(n)=1}.$