Exercițiul 503

E.503. Se dau numerele a=1+3+5+…+2019a=1+3+5+ \ldots + 2019 și b=2+4+6+…+2020.b=2+4+6+ \ldots + 2020. Aflați ultima cifră a numărului (a+6)b.(a+6)^b.

Olimpiadă, etapa locală, Ilfov, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: 6.6.

Soluție:

a=1+3+5+…+2019.a=1+3+5+ \ldots + 2019.
a=2019+2017+2017+…+1.a=2019+2017+2017+ \ldots + 1.
Suma are (2019−1):2+1=1010(2019-1):2+1 =1010 termeni. Prin adunare obținem 2a=1010⋅2020⇒a=10102.2a = 1010 \cdot 2020 \Rightarrow \boxed{a=1010^2}.

b=2(1+2+3+…+1010),b=2(1+2+3+ \ldots+1010), deci b=1010⋅1011.b=\boxed{1010 \cdot 1011}.

Uc(a+6)=6⇒Uc((a+6)b)=6.U_c(a+6) =6 \Rightarrow \boxed{U_c((a+6)^b)=6}.