Exercițiul 505

E.505. Determinați ultima cifră a numărului A=7⋅(2n+5m)2016+3,A=7 \cdot (2^n+5^m)^{2016} + 3, unde mm și nn sunt numere naturale nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Sibiu, 2019
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Se tratează toate cazurile de ultima cifra pentru 2n2^n și 5m.5^m.

Răspuns: 0.0.

Soluție:
Uc(2n)∈{2,4,6,8}Uc(5m)=5}⇒Uc(2n+5m)∈{1,3,7,9,}⇒Uc(2n+5m)4⋅504=1. \begin{rcases} U_c(2^n) \in \{2,4,6, 8 \} \\ U_c(5^m)=5 \end{rcases} \Rightarrow U_c(2^n+5^m) \in \{1, 3,7,9, \} \Rightarrow \boxed{U_c(2^n+5^m)^{4 \cdot 504} =1}.

Uc(A)=Uc(7⋅1+3)=0.U_c(A) = U_c(7 \cdot 1 + 3) = 0.

Metoda 2 (soluția oficială)
(2n+5m)2016=(2n+5m)⋅(2n+5m)⋅…⋅(2n+5m)=(2n)2016+2n⋅5m⋅k+(5m)2016,(2^n+5^m)^{2016}=(2^n+5^m) \cdot (2^n+5^m) \cdot \ldots \cdot (2^n+5^m) = (2^n)^{2016} + 2^n \cdot 5^m \cdot k + (5^m)^{2016}, unde kk este un număr natural.
Uc[(2n+5m)2016]=Uc[(2n)2016+0+5]=1.U_c\big[(2^n+5^m)^{2016}\big] = U_c\big[(2^n)^{2016} + 0 + 5\big] = 1.
Uc(A)=Uc(7⋅1+3)=0.U_c(A) = U_c(7 \cdot 1 + 3) = 0.