Exercițiul 506

E.506. Determinați ultima cifră a numărului N=4(a1+a2)(a2+a3)(a3+a4)…(a2019+a1)−1,N=4^{(a_1+a_2)(a_2+a_3)(a_3+a_4) \ldots (a_{2019}+a_1)}-1, unde a1,a2,…,a2019a_1, a_2, \ldots, a_{2019} sunt numere naturale nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Bihor 2020; Arad 2023
Răspuns | Soluție

Răspuns: 5.5.

Soluție:

Considerăm suma: (a1+a2)⏟n1+(a2+a3)⏟n2+…+(a2019+a1)⏟n2019=2(a1+a2+…+a2019).\underbrace{(a_1+a_2)}_{n_1} + \underbrace{(a_2+a_3)}_{n_2} + \ldots + \underbrace{(a_{2019}+a_1)}_{n_{2019}} = 2(a_1+a_2 + \ldots +a_{2019}).
Cum această sumă este pară, înseamnă că cel puțin unul din termenii n1,n2,…,n2019n_1, n_2, \ldots, n_{2019} este par.
Prin urmare, și produsul (a1+a2)(a2+a3)(a3+a4)…(a2019+a1)(a_1+a_2)(a_2+a_3)(a_3+a_4) \ldots (a_{2019}+a_1) va fi un număr par.

Cum Uc(42k)=6⇒Uc(N)=5.U_c(4^{2k})=6 \Rightarrow \boxed{U_c(N)=5}.