Exercițiul 508

E.508. Determinați ultimele două cifre ale numărului S=15+152+153+…+151515.S=15+15^2+15^3+ \ldots + 15^{1515}.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2018
RMT 4/2014
Răspuns | Soluție

Răspuns: 15.15.

Soluție:

S=15+152(1+15)+154(1+15)+…+151514(1+15)=S=15 + 15^2(1+15) + 15^4(1+15) + \ldots + 15^{1514}(1+15)=
=15+152⋅16(1+152+154+…+151512).=15 + 15^2 \cdot 16(1+15^2+15^4 + \ldots + 15^{1512}).

152⋅16=3600⇒U2c(S)=15.15^2 \cdot 16 = 3600 \Rightarrow \boxed{U_{2c}(S)=15}.

Metoda 2:

  • U2c(152)=25;U_{2c}(15^2)=25;
  • U2c(153)=U2c(25⋅15)=75;U_{2c}(15^3)=U_{2c}(25 \cdot 15)=75;
  • U2c(154)=U2c(75⋅15)=25U_{2c}(15^4)=U_{2c}(75 \cdot 15)=25 (se repetă).

Prin urmare, avem regula:

  • U2cU_{2c} pentru 1515 la puteri pare este 25;25;
  • U2cU_{2c} pentru 1515 la puteri impare este 75;75;

S=15+(152+153)⏟U2c=00+(154+155)⏟U2c=00+…+(151514+151515)⏟U2c=00⇒U2c(S)=15.S=15+\underbrace{(15^2+15^3)}_{U_{2c}=00}+\underbrace{(15^4+15^5)}_{U_{2c}=00}+ \ldots + \underbrace{(15^{1514}+15^{1515})}_{U_{2c}=00} \Rightarrow \boxed{U_{2c}(S)=15}.