Exercițiul 504

E.504. Se consideră numărul a=234n+3+8⋅234n+2+101,a=23^{4n+3} + 8 \cdot 23^{4n+2} + 101, unde nn este număr natural. Determinați ultima cifră a câtului obținut prin împărțirea lui aa la 31.31.

Costel Chiteș și Liliana Toderiuc-Fedorca, Olimpiadă, etapa locală, București, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: 2.2.

Soluție:

a=234n+2(23+8)+101=a=23^{4n+2}(23+8)+101=
=234n+2⋅31+3⋅31+8==23^{4n+2} \cdot 31 + 3 \cdot 31 + 8=
=31(234n+2+3)+8.=31(23^{4n+2}+3) + 8. Deci câtul împărțirii lui aa la 3131 este 234n+2+3.23^{4n+2}+3. Notăm acest cât cu C.

Uc(234n+2)=Uc(34n+2)=Uc(32)=9.U_c(23^{4n+2}) = U_c(3^{4n+2}) =U_c(3^2) = 9.
Uc(C)=Uc(9+3)=2.U_c(C) = U_c(9+3)=2.