Exercițiul 507

E.507. Determinați ultima cifră a numărului A=2018n2+2019n2+n+2020n,A=2018^{n^2} + 2019^{n^2+n} + 2020^n, unde nn este un număr natural nenul.

Olimpiadă, etapa locală, Timiș, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 77 sau 9.9.

Soluție:
  • Uc(2020n)=0;\boxed{U_c(2020^n)=0};
  • n2+n=n(n+1)n^2+n = n(n+1) este număr par ⇒Uc(2019n2+n)=1;\Rightarrow \boxed{Uc(2019^{n^2+n})=1};
  • Un pătrat perfect este de forma 4k4k sau 4k+1⇒Uc(2018n2)=6 sau 8.4k+1 \Rightarrow \boxed{U_c(2018^{n^2}) = 6 \text{ sau } 8}.

⇒Uc(A)=7 sau 9.\Rightarrow \boxed{U_c(A) = 7 \text{ sau } 9}.