Exercițiul 509

E.509. Ultima cifră a numărului n2018n^{2018} este 9.9. Aflați ultima cifră a numărului n2020.n^{2020}.

Marian Ciuperceanu GM 10/2019, Olimpiadă, etapa locală, Constanța 2020; Hunedoara 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1.1.

Soluție:

Știm că prin ridicarea la putere putem obține ultima cifră 99 în următoarele cazuri:

  • 91,93,95,…,92k+19^1, 9^3, 9^5, \ldots, 9^{2k+1} (99 la puteri impare);
  • 32,36,310,…,34k+23^2, 3^6, 3^{10}, \ldots, 3^{4k+2} (33 la puteri de forma 4k+24k+2);
  • 72,76,710,…,74k+27^2, 7^6, 7^{10}, \ldots, 7^{4k+2} (77 la puteri de forma 4k+24k+2);

Cum 9102=4⋅2275+2⇒91029102 = 4 \cdot 2275 +2 \Rightarrow 9102 este de forma 4k+2⇒n∈{3,7}.4k+2 \Rightarrow \boxed{n \in \{3, 7\}}.

  • n=3⇒Uc(32020)=Uc(34)=1;n=3 \Rightarrow U_c(3^{2020}) = U_c(3^4)=1;
  • n=7⇒Uc(72020)=Uc(74)=1;n=7 \Rightarrow U_c(7^{2020}) = U_c(7^4)=1;

Deci Uc(n)=1.\boxed{U_c(n)=1}.