Exercițiul 512

E.512. Determinați ultima cifră a numărului N=7⋅410+7⋅49+7⋅48+…+7⋅41+7.N=7 \cdot 4^{10} + 7 \cdot 4^9+7 \cdot 4^8 + \ldots + 7 \cdot 4^1 + 7.

Olimpiadă, etapa locală, Bistrița-Năsăud, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: 7.7.

Soluție:

N=7[1+(4+42⏟20)+42(4+42⏟20)+…+48(4+42⏟20)]=N=7[1+(\underbrace{4+4^2}_{20}) + 4^2(\underbrace{4+4^2}_{20}) + \ldots + 4^8(\underbrace{4+4^2}_{20})]=
=7[1+20(1+42+…+48)]⇒Uc(N)=7.=7[1+20(1+4^2 + \ldots + 4^8)] \Rightarrow \boxed{U_c(N)=7}.

Metoda 2: N=7(410+49+48+…+4+1)=7⋅(411−1):3.N=7(4^{10} + 4^9+4^8 + \ldots + 4 + 1)= 7 \cdot (4^{11}-1):3.
Uc(N)=Uc[7⋅(4−1):3]=7.U_c(N) = U_c[7 \cdot (4-1):3] =7.