Pătrate și cuburi perfecte

Pătrate și cuburi perfecte

Lucian Măran, 01.12.2024

Definiții

Un număr care poate fi scris sub forma k2,k^2, cu k număr natural, se numește pătrat perfect.
Un număr care poate fi scris sub forma k3,k^3, cu k număr natural, se numește cub perfect.

Exemplu: 2525 este pătrat perfect, deoarece 25=52.25=5^2.

Proprietăți ale unui pătrat perfect:

  • Are Uc∈{0,1,4,5,6,9};U_c \in \{0,1,4,5,6,9\};
  • Este de forma:
    • 3k, 3k+1;3k, ~ 3k+1;
    • 4k, 4k+1;4k, ~ 4k+1;
    • 5k, 5k+1, 5k+4;5k,~5k+1,~ 5k+4;
    • etc
  • Dacă are Uc=5,U_c=5, atunci U2c=25;U_{2c} =25;
  • Dacă are UcU_{c} impară, atunci penultima cifră este pară;
  • Are un număr impar de divizori naturali.

Observație: Dacă un număr îndeplinește una (sau mai multe) din proprietățile de mai sus nu înseamnă că acel număr este pătrat perfect.
Exemplu: 1010 are ultima cifră zero, dar nu este pătrat perfect.

Cum arătăm că un număr este pătrat perfect / cub perfect:

  • Arătăm că îl putem scrie ca putere cu exponentul 2,2, respectiv 3.3.

Cum arătăm că un număr nu este pătrat perfect:

  • Arătăm că Uc∈{2,3,7,8};U_c \in \{2,3,7,8\};
  • Arătăm că este situat între două pătrate perfecte consecutive;
    • Consecință: arătăm că poate fi scris ca un produs de două numere consecutive (excepție: 00 și 1);1);
  • Arătăm că se împarte exact la un număr prim p,p, dar nu și la p2.p^2. Adică arătăm că nu poate fi scris ca o putere cu exponentul 22;
    • Consecință: arătăm că se termină cu un număr impar de zerouri;
  • Arătăm că este de forma:
    • 3k+2;3k+2;
    • 4k+2, 4k+3;4k+2,~ 4k+3;
    • 5k+2, 5k+3;5k+2,~ 5k+3;
    • 6k+2, 6k+5;6k+2,~ 6k+5;
    • 7k+3, 7k+5, 7k+6;7k+3,~ 7k+5,~ 7k+6;
    • 8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6;8k+2,~ 8k+3,~ 8k+5,~8k+6;
    • etc.
  • Arătăm că dacă are Uc=5,U_c=5, atunci U2c≠25;U_{2c} \not =25;
  • Arătăm că are ultimele două cifre impare;
  • Arătăm că are un număr par de divizori naturali.

Cum arătăm că un număr nu este cub perfect:

  • Arătăm că este situat între două cuburi perfecte consecutive;
  • Arătăm că se împarte exact la un număr prim p,p, dar nu și la p3.p^3. Adică arătăm că nu poate fi scris ca o putere cu exponentul 33;
  • Arătăm că este de forma:
    • 7k+2; 7k+3; 7k+4; 7k+5;7k+2;~7k+3;~7k+4;~7k+5;
    • 9k+2; 9k+3; 9k+4; 9k+5; 9k+6; 9k+7.9k+2;~9k+3;~9k+4;~9k+5;~9k+6;~9k+7.

Alte proprietăți:

  • Între două pătrate perfecte consecutive n2n^2 și (n+1)2(n+1)^2 există exact 2n2n numere (din care niciunul nu este pătrat perfect);
  • Orice pătrat perfect poate fi scris ca o sumă de numere impare consecutive, cu primul termen 11: n2=1+3+5+…+(2n−1)2.\boxed{n^2=1+3+5+\ldots + (2n-1)^2}.

Articole utile:

Nivel introductiv

E.537. Arătați că numărul A=1+2+3+…+2018+2019+2018+…+3+2+1A=1+2+3+ \ldots+2018+2019+2018+ \ldots + 3+2+1 este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: A=20192A=2019^2

Soluție:

X=1+2+3+…+2018+2019=2019⋅2020:2=2019⋅1010.X=1+2+3+ \ldots+2018+2019 = 2019 \cdot 2020 : 2 = 2019 \cdot 1010.
Y=2018+…+3+2+1=2018⋅2019:2=2019⋅1009.Y=2018+ \ldots + 3+2+1 = 2018 \cdot 2019 : 2 = 2019 \cdot 1009.

A=X+Y=2019(1010+1009)=20192,A=X+Y=2019(1010+1009) = 2019^2, deci AA este pătrat perfect.

E.538. Se consideră numerele: A=(220+221)⋅(320+321)A=(2^{20}+2^{21})\cdot (3^{20}+3^{21}) și B=(221−220)⋅(323−321).B=(2^{21}-2^{20})\cdot (3^{23}-3^{21}).
a) Arătați că A+BA+B este pătrat perfect.
b) Arătați că A⋅BA\cdot B este cub perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Dâmbovița, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: A+B=(211⋅311)2; A⋅B=(215⋅314)3.A+B=(2^{11} \cdot 3^{11})^2;~ A\cdot B = (2^{15} \cdot 3^{14})^3.

Soluție:

A=220(1+2)⋅320(1+3)=222⋅321.A=2^{20}(1+2) \cdot 3^{20}(1+3) = 2^{22} \cdot 3^{21}.
B=220(2−1)⋅321(32−1)=223⋅321.B=2^{20}(2-1) \cdot 3^{21}(3^2-1) = 2^{23} \cdot 3^{21}.

a) A+B=222⋅321+223⋅321=222⋅321(1+2)=222⋅322A+B = 2^{22} \cdot 3^{21} + 2^{23} \cdot 3^{21} = 2^{22} \cdot 3^{21}(1+2) = 2^{22} \cdot 3^{22} - pătrat perfect.
b) A⋅B=222⋅321⋅223⋅321=245⋅342=(215)3⋅(314)3A \cdot B = 2^{22} \cdot 3^{21} \cdot 2^{23} \cdot 3^{21} = 2^{45} \cdot 3^{42} = (2^{15})^3 \cdot (3^{14)^3} - cub perfect.

E.539. a) Arătați că numărul A=2⋅20192020−2020⋅20192019−2018⋅20192018A=2 \cdot 2019^{2020} - 2020 \cdot 2019^{2019} - 2018 \cdot 2019^{2018} este pătrat perfect.
b) Arătați că numărul B=2710⋅3211−167⋅627⋅23B=27^{10} \cdot 32^{11} - 16^7 \cdot 6^{27} \cdot 23 este cub perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: A=(20192019⋅2018)2; B=(39⋅219)3.A=(2019^{2019} \cdot 2018)^2; ~ B=(3^9 \cdot 2^{19})^3.

Soluție:

A=20192018(2⋅20192−2020⋅2019−2018)=A=2019^{2018}(2 \cdot 2019^2-2020 \cdot 2019 - 2018)=
=20192018[2019(2⋅2019−2020⏟2018)−2018]==2019^{2018}[2019(\underbrace{2 \cdot 2019 - 2020}_{2018})-2018]=
=20192018(2019⋅2018−2018)==2019^{2018}(2019 \cdot 2018 - 2018)=
=(20191009)2⋅20182=(2019^{1009})^2 \cdot 2018^2 - pătrat perfect.

B=(33)10⋅(25)11−(24)7⋅227⋅327⋅23=B=(3^3)^{10} \cdot (2^5)^{11} - (2^4)^7 \cdot 2^{27} \cdot 3^{27} \cdot 23 =
=330⋅255−228⋅227⏟255⋅327⋅23==3^{30} \cdot 2^{55} - \underbrace{2^{28} \cdot 2^{27}}_{2^{55}} \cdot 3^{27} \cdot 23=
=327⋅255(33−23⏟4)==3^{27} \cdot 2^{55} (\underbrace{3^3 - 23}_{4})=
=327⋅257=(39)3⋅(219)3=3^{27} \cdot 2^{57} = (3^9)^3 \cdot (2^{19})^3 - cub perfect.

E.540. Arătați că numărul x=20182017+20192017+20162017x=2018^{2017} + 2019^{2017} + 2016^{2017} nu este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Ilfov, 2018
Indicații (1) | Soluție

Indicații: UcU_c

Soluție:

Uc(x)=UC(81+91+6)=3,U_c(x) = U_C(8^1+9^1+6)=3, deci xx nu este pătrat perfect.

E.541. Fie numărul A=24037+22020+2.A=2^{4037} + 2^{2020} +2. Este AA pătrat perfect?

Adriana Cațaron, Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020
Soluție
Soluție:

A=21⋅(24036+22019+1⏟impar).A=2^1 \cdot (\underbrace{2^{4036} + 2^{2019} +1}_{\text{impar}}).
Cum 22 se află la putere impară, AA nu este pătrat perfect.

E.542. Se consideră numerele x=20232n+1+2024n+nx=2023^{2n+1} + 2024^n + n și y=n+2024n,y=n+2024^n, unde nn este un număr natural nenul. Să se demonstreze că dacă ultima cifră a lui xx este 5, y5,~y nu este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Bihor, 2024
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Uc(x)=5⇒xU_c(x)=5 \Rightarrow x impar ⇒n\Rightarrow n par ⇒Uc(x)=Uc(3+y)⇒Uc(y)=2.\Rightarrow U_c(x)=U_c(3+y) \Rightarrow U_c(y)=2.

Soluție:

Uc(x)=5⇒xU_c(x)=5 \Rightarrow x impar.
x⏟impar=20232n+1⏟impar+2024n⏟par+n⇒n\underbrace{x}_{\text{impar}}= \underbrace{2023^{2n+1}}_{\text{impar}} + \underbrace{2024^n}_{\text{par}} + n \Rightarrow n este par, adică n=2k.\boxed{n=2k}.

⇒Uc(x)⏟Uc=5=Uc(34k+1⏟Uc=3+2024n+n⏟y)⇒Uc(y)=2⇒y\Rightarrow \underbrace{U_c(x)}_{U_c=5}=U_c(\underbrace{3^{4k+1}}_{U_c=3}+\underbrace{2024^n + n}_{y}) \Rightarrow \boxed{U_c(y)=2} \Rightarrow y nu este pătrat perfect.

E.543. Să se calculeze pătratul numărului ab‾,\overline{ab}, știind că numărul aaaa‾+101(a+b)\overline{aaaa} + 101(a+b) este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: 852=7225.85^2=7225.

Soluție:

aaaa‾+101(a+b)=a⋅1111‾+101⋅a+101⋅b=1212a+101b=101(12a+b).\overline{aaaa} + 101(a+b) = a \cdot \overline{1111} + 101\cdot a+101 \cdot b = 1212a+101b=101(12a+b).

101(12a+b)101(12a+b) este pătrat perfect dacă 12a+b=101⋅k2,\boxed{12a+b=101 \cdot k^2}, cu k=1,2,3,….k=1,2,3, \ldots.
Cum aa și bb sunt cifre ⇒12a+b≤12⋅9+9=114,\Rightarrow 12a+b \leq 12 \cdot 9 + 9=114, deci kk poate fi doar 1.1.
12a+b=101⇒a=8,b=5⇒ab‾2=852=7225.12a+b = 101 \Rightarrow a=8, b=5 \Rightarrow \boxed{\overline{ab}^2= 85^2=7225}.

E.544. Se consideră șirul de numere naturale 3;8;13;18;…;2018.3;8;13;18; \ldots; 2018. Arătați că oricum am extrage 109109 numere din șir, suma acestora nu este pătrat perfect.

Teodor Cristian Olteanu, Olimpiadă, etapa locală, București, 2018
Soluție
Soluție:

Fie 5k1+3,5k2+3,…5k109+35k_1+3, 5k_2+3, \ldots 5k_{109}+3 cele 109109 numere extrase, cu k1,k2,…,k109k_1,k_2,\ldots,k_{109} numere naturale distincte.
Suma acestor numere este S=5(k1+k2+…+k109⏟Uc=0 sau 5)+3⋅109⏟Uc=7.S=5(\underbrace{k_1+k_2+\ldots+k_{109}}_{U_c=0 \text{ sau }5}) + \underbrace{3 \cdot 109}_{U_c=7}.
Uc(S)U_c(S) este 22 sau 7,7, deci SS nu este pătrat perfect.

E.558. Arătați că numărul a=440+404a=4^{40} + 40^4 nu este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Satu-Mare, 2019
Indicații (1) | Soluție

Indicații: M3+1+M39+1=M3+2.M_3+1+M_{39}+1 = M_3+2.

Soluție:

Observăm că Uc(a)=Uc(44)+0=6,U_c(a) = U_c(4^4)+0 = 6, deci nu putem folosi metoda cu ultima cifră.

a=(3+1)40+(39+1)4=M3+1+M39⏟M3+1=M3+2,a=(3+1)^{40} + (39+1)^4 =M_3+1 + \underbrace{M_{39}}_{M_3}+1 = M_3+2, deci aa nu este pătrat perfect.

Nume CreatLa (UTC)
Tema10 Pătrate și cuburi perfecte 01-12-2024 18:33