E.543. Să se calculeze pătratul numărului ab‾,\overline{ab},ab, știind că numărul aaaa‾+101(a+b)\overline{aaaa} + 101(a+b)aaaa+101(a+b) este pătrat perfect.
Răspuns: 852=7225.85^2=7225.852=7225.
aaaa‾+101(a+b)=a⋅1111‾+101⋅a+101⋅b=1212a+101b=101(12a+b).\overline{aaaa} + 101(a+b) = a \cdot \overline{1111} + 101\cdot a+101 \cdot b = 1212a+101b=101(12a+b).aaaa+101(a+b)=a⋅1111+101⋅a+101⋅b=1212a+101b=101(12a+b).
101(12a+b)101(12a+b)101(12a+b) este pătrat perfect dacă 12a+b=101⋅k2,\boxed{12a+b=101 \cdot k^2},12a+b=101⋅k2, cu k=1,2,3,….k=1,2,3, \ldots.k=1,2,3,…. Cum aaa și bbb sunt cifre ⇒12a+b≤12⋅9+9=114,\Rightarrow 12a+b \leq 12 \cdot 9 + 9=114,⇒12a+b≤12⋅9+9=114, deci kkk poate fi doar 1.1.1. 12a+b=101⇒a=8,b=5⇒ab‾2=852=7225.12a+b = 101 \Rightarrow a=8, b=5 \Rightarrow \boxed{\overline{ab}^2= 85^2=7225}.12a+b=101⇒a=8,b=5⇒ab2=852=7225.