Exercițiul 542

E.542. Se consideră numerele x=20232n+1+2024n+nx=2023^{2n+1} + 2024^n + n și y=n+2024n,y=n+2024^n, unde nn este un număr natural nenul. Să se demonstreze că dacă ultima cifră a lui xx este 5, y5,~y nu este pătrat perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Bihor, 2024
Indicații (1) | Soluție

Indicații: Uc(x)=5⇒xU_c(x)=5 \Rightarrow x impar ⇒n\Rightarrow n par ⇒Uc(x)=Uc(3+y)⇒Uc(y)=2.\Rightarrow U_c(x)=U_c(3+y) \Rightarrow U_c(y)=2.

Soluție:

Uc(x)=5⇒xU_c(x)=5 \Rightarrow x impar.
x⏟impar=20232n+1⏟impar+2024n⏟par+n⇒n\underbrace{x}_{\text{impar}}= \underbrace{2023^{2n+1}}_{\text{impar}} + \underbrace{2024^n}_{\text{par}} + n \Rightarrow n este par, adică n=2k.\boxed{n=2k}.

⇒Uc(x)⏟Uc=5=Uc(34k+1⏟Uc=3+2024n+n⏟y)⇒Uc(y)=2⇒y\Rightarrow \underbrace{U_c(x)}_{U_c=5}=U_c(\underbrace{3^{4k+1}}_{U_c=3}+\underbrace{2024^n + n}_{y}) \Rightarrow \boxed{U_c(y)=2} \Rightarrow y nu este pătrat perfect.