Exercițiul 538

E.538. Se consideră numerele: A=(220+221)⋅(320+321)A=(2^{20}+2^{21})\cdot (3^{20}+3^{21}) și B=(221−220)⋅(323−321).B=(2^{21}-2^{20})\cdot (3^{23}-3^{21}).
a) Arătați că A+BA+B este pătrat perfect.
b) Arătați că A⋅BA\cdot B este cub perfect.

Olimpiadă, etapa locală, Dâmbovița, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: A+B=(211⋅311)2; A⋅B=(215⋅314)3.A+B=(2^{11} \cdot 3^{11})^2;~ A\cdot B = (2^{15} \cdot 3^{14})^3.

Soluție:

A=220(1+2)⋅320(1+3)=222⋅321.A=2^{20}(1+2) \cdot 3^{20}(1+3) = 2^{22} \cdot 3^{21}.
B=220(2−1)⋅321(32−1)=223⋅321.B=2^{20}(2-1) \cdot 3^{21}(3^2-1) = 2^{23} \cdot 3^{21}.

a) A+B=222⋅321+223⋅321=222⋅321(1+2)=222⋅322A+B = 2^{22} \cdot 3^{21} + 2^{23} \cdot 3^{21} = 2^{22} \cdot 3^{21}(1+2) = 2^{22} \cdot 3^{22} - pătrat perfect.
b) A⋅B=222⋅321⋅223⋅321=245⋅342=(215)3⋅(314)3A \cdot B = 2^{22} \cdot 3^{21} \cdot 2^{23} \cdot 3^{21} = 2^{45} \cdot 3^{42} = (2^{15})^3 \cdot (3^{14)^3} - cub perfect.