Exercițiul 544

E.544. Se consideră șirul de numere naturale 3;8;13;18;…;2018.3;8;13;18; \ldots; 2018. Arătați că oricum am extrage 109109 numere din șir, suma acestora nu este pătrat perfect.

Teodor Cristian Olteanu, Olimpiadă, etapa locală, București, 2018
Soluție
Soluție:

Fie 5k1+3,5k2+3,…5k109+35k_1+3, 5k_2+3, \ldots 5k_{109}+3 cele 109109 numere extrase, cu k1,k2,…,k109k_1,k_2,\ldots,k_{109} numere naturale distincte.
Suma acestor numere este S=5(k1+k2+…+k109⏟Uc=0 sau 5)+3⋅109⏟Uc=7.S=5(\underbrace{k_1+k_2+\ldots+k_{109}}_{U_c=0 \text{ sau }5}) + \underbrace{3 \cdot 109}_{U_c=7}.
Uc(S)U_c(S) este 22 sau 7,7, deci SS nu este pătrat perfect.