Înmulțirea numerelor naturale. Factor comun

$S=1+2+3+4+\ldots+2008 - 2(3+6+9+ \ldots+2007)=$
$=2008 \cdot 2009 : 2 + 2 \cdot 3(1+2+3+\ldots+669)=$
$=1004 \cdot 2009 + 3 \cdot 669 \cdot 670=$
$=2017036-1344690=672346.$

Metoda 2:
$S=(1+2-3)+(4+5-6) + \ldots + (2005+2006-2007) + 2008 =$
$=(3 + 6 + 9 + \ldots + 2004) + 2008=$
$=3(1+2+3+ \ldots + 668) + 2008=$
$=3 \cdot 668 \cdot 669 : 2 + 2008=672346.$

Deooarece $20=2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1,$ soluțiile problemei sunt:
$2, 10, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{8 de 1}}; \quad 4, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}};\quad 2, 2, 5, \underbrace{1, \ldots,1}_{\text{11 de 1}}.$

Observăm că:

• $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot9$ conține factorul 5 și cel puțin un factor par, deci are cifra unităților $0$;
• $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9$ conține factorul 5 și toți ceilalți factori sunt numere impare, deci are cifra unităților $5$;

Rezultă că ultima cifră a numărului $A$ este $5$

Începând cu $5!$, toate numerele conțin factorii 2 și 5, deci au ultima cifră $0.$
$U_c(S) = U_c(1!)+U_c(2!)+U_c(3!)+U_c(4!)+U_c(5!)+\ldots +U_c(2008!)=$
$=U_c(1)+U_c(2)+U_c(6)+U_c(24)+0+\ldots +0=$
$=U_c(1+2+6+4) = 3.$

Din $4(10b+c)=7(10c+b)$ obținem $b=2c.$
Cum $b$ și $c$ sunt nenule, pentru perechea $(b,c)$ avem doar $4$ cazuri: $(2,1), (4,2), (6,3), (8,4).$
Pentru fiecare astfel de pereche, cifra $a$ poate fi aleasa în $9$ moduri, deci obținem $4 \cdot 9 = 36$ de numere.

Fie $\overline{ab}$ numărul inițial. Numărul nou este $\overline{ababab} = \overline{ab} \cdot 10000 + \overline{ab} \cdot 100 + \overline{ab} = \overline{ab} \cdot 10101.$
Deci numărul nou este de $10101$ ori mai mare decât cel inițial.

Metoda 2: Folosind algoritul de împărțire, avem $\overline{ababab}: \overline{ab} = 10101,$ rest $0$.

$\overline{6abcde} = 600000 + \overline{abcde} = 4(10 \cdot \overline{abcde} + 6) \Rightarrow \overline{abcde} = 599976:39 = 15384.$
Deci numărul căutat este $615384.$

Metoda 2:
Avem $\overline{6abcde}: 4 = \overline{abcde6}.$ Efectuăm îpărțirea folosind algoritmul cunoscut:

• $6:4=1,$ rest $2 \Rightarrow a=1;$
• $61:4=15,$ rest $1 \Rightarrow b=5;$
• $615:4=153,$ rest $3\Rightarrow c=3;$
• $6153:4=1538,$ rest $1\Rightarrow d=8;$
• $61538:4=15384,$ rest $2\Rightarrow e=4;$
• $615384:4=153846,$ rest $0.$

Deci numărul căutat este $615384.$

$\overline{abc} \cdot n = 2000 + \overline{abc}.$
$\overline{abc}(n-1)=2000.$

Cum $n$ este o cifră $\Rightarrow n-1 \leq 8.$
Mai mult, cum $2000$ conține în descompunerea sa doar cifrele $2$ și $5$ ($2000 = 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10),$ rezultă că pentru $n-1$ putem avea doar cazurile:

• $n-1=2 \Rightarrow n=3$ și $\overline{abc}=1000$ - nu convine;
• $n-1=4 \Rightarrow n=5$ și $\overline{abc}=500;$
• $n-1=5 \Rightarrow n=6$ și $\overline{abc}=400;$
• $n-1=8 \Rightarrow n=9$ și $\overline{abc}=250.$

Notăm relația $a+b+c=31$ cu $A$ și relația $2a+3b+4c=105$ cu $B.$

• din $B-2A \Rightarrow b+2c=105-62=43;$
• din $B-3A \Rightarrow c-a=105-93=12;$
• din $4A-B \Rightarrow 2a+b=124-105=19$.

Deci $(b+2c)(c-a)(2a+b)=43 \cdot 12 \cdot 19 = 9904.$

În membrul stâng avem:
$(\overline{ab} + c) + 3(\overline{bc} + a) + 5(\overline{ca} + b) =$
$=10a+b+c+3(10b+c+a) + 5(10c+a+b) =$
$=18a+36b+54c=$
$=18(a+2b+3c).$

Prin egalare cu membrul drept, obținem:
$a^3+b^3+c^3+1=18$
$a^3+b^3+c^3=17 \Rightarrow (a,b,c) = (2,2,1),(2,1,2),(1,2,2).$

Deci suma numerelor $\overline{abc}$ este $221+212+122 = 555.$

$3S=1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot (4-1) + 3 \cdot 4 \cdot (5-2) + \ldots + 99 \cdot 100 \cdot (101-98).$
$3S=\cancel{1 \cdot 2 \cdot 3} + (\cancel{2 \cdot 3 \cdot 4} - \cancel{1 \cdot 2 \cdot 3}) + (3 \cdot 4 \cdot 5 -\cancel{2 \cdot 3 \cdot 4}) + \ldots + (99 \cdot 100 \cdot 101-\cancel{98 \cdot 99 \cdot 100}).$
$S=99 \cdot 100 \cdot 101 : 3.$

Metoda 2 (opțional): Ne folosim de egalitatea $n(n+1) = n^2+n$ și formula $\boxed{1^2+2^2+ \ldots + n^2 = n(n+1)(2n+1):6}.$
$S=(1^2+1) + (2^2+2) + (3^2+3) + \ldots + (99^2+99)=$
$(1^2+2^2+ \ldots + 99^2) + (1+2+\ldots + 99)=$
$=99 \cdot 100 \cdot 199:6 + 99 \cdot 100 :2=$
$=99 \cdot 100 \cdot 101 : 3.$

$4S=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (5-1) + 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (6-2) + \ldots + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot (101-97).$
$4S=\cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + (\cancel{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} - \cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}) + (3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 - \cancel{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}) + \ldots + (98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101-\cancel{97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100}).$
$S=98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 : 4.$

Metoda 2 (opțional): Ne folosim de egalitatea $n(n+1)(n+2) = (n^2+n)(n+2) = n^3+3n^2 + 2n$ și formulele $\boxed{1^2+2^2+ \ldots + n^2 = n(n+1)(2n+1):6}$ și $\boxed{1^3+2^3+ \ldots + n^3 = n^2(n+1)^2:4}.$

$S=(1^3+3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1) + (2^3+3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2) + (3^3+3 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3) + \ldots + (98^3+3 \cdot 98^2 + 2 \cdot 98)=$
$(1^3+2^3+ \ldots + 98^3) + 3(1^2+2^2+ \ldots + 98^2) + 2(1+2+\ldots + 98)=$
$=98^2 \cdot 99^2 :4 + 3 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 197 :6 + 98 \cdot 99=$
$=98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 : 4.$

Scrierile numerelor $16$ și $225$ ca produs de două numere distincte sunt:

• $16 = 1 · 16 = 2 · 8;$
• $225 = 1 · 225 = 3 · 75 = 5 · 45 = 9 · 25.$

Varianta $16=1 \cdot 16$ nu convine pentru că $16$ este mai mare decât unul dintre factorii care apar în fiecare scriere a lui $225.$ Deci cele mai mici două numere sunt $2$ și $8.$ Analog, pentru $225$ putem păstra doar varianta $225=9 \cdot 25$ ($1$, $3$ și $5$ fiind mai mici decât $8$).

Cum $8$ și $9$ sunt numere consecutive rezultă că nu mai există un alt număr scris pe tablă. Suma numerelor scrise pe tablă este $2 + 8 + 9 + 25 = 44.$