Exercițiul 322

E.322. Aflați cifrele a, b, c, na,~b,~c,~n știind că abc‾⋅n=2abc‾.\overline{abc} \cdot n = \overline{2abc}.

Olimpiadă, etapa locală, Buzău, 2024
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: abc‾(n−1)=2000.\overline{abc}(n-1)=2000.

Indicația 2: nn este o cifră, iar 20002000 conține în descompunerea sa doar produse de 22 și 5.5.

Răspuns: Pentru abc‾\overline{abc} și nn putem avea 33 soluții: 500500 cu 55; 400400 cu 66 și 250250 cu 9.9.

Soluție:

abc‾⋅n=2000+abc‾.\overline{abc} \cdot n = 2000 + \overline{abc}.
abc‾(n−1)=2000.\overline{abc}(n-1)=2000.

Cum nn este o cifră ⇒n−1≤8.\Rightarrow n-1 \leq 8.
Mai mult, cum 20002000 conține în descompunerea sa doar cifrele 22 și 55 (2000=2⋅10⋅10⋅10),2000 = 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10), rezultă că pentru n−1n-1 putem avea doar cazurile:

  • n−1=2⇒n=3n-1=2 \Rightarrow n=3 și abc‾=1000\overline{abc}=1000 - nu convine;
  • n−1=4⇒n=5n-1=4 \Rightarrow n=5 și abc‾=500;\overline{abc}=500;
  • n−1=5⇒n=6n-1=5 \Rightarrow n=6 și abc‾=400;\overline{abc}=400;
  • n−1=8⇒n=9n-1=8 \Rightarrow n=9 și abc‾=250.\overline{abc}=250.