E.303. Pe un cerc sunt 11 numere naturale astfel încât suma oricăror 3 numere alăturate este cel mult 19, iar suma oricăror 4 numere alăturate este cel puțin 25. Să se determine suma celor 11 numere.
Principii și metode de rezolvare V-VI, 6/34, GIL; GM, seria B.
Fie a1,a2,…,a11 cele 11 numere și S suma lor. Din prima condiție, putem scrie:
a1+a2+a3≤19;
a2+a3+a4≤19;
...
a10+a11+a1≤19;
a11+a1+a2≤19;
Prin adunare obținem 3S≤19⋅11, adică S<70(1).
Analog, din a doua condiție obținem 4S≥25⋅11, adică S>68(2).
Din (1), (2) ⇒S=69.
E.304. Albă-ca-Zăpada și cei 7 pitici au suma vârstelor egală cu 172 de ani. Știind ca Albă-ca-Zăpada este cea mai tânără dintre personajele din poveste și că toate personajele au vârste exprimate prin numere naturale consecutive, aflați suma vârstelor celor 7 pitici.
Metoda 1 (prin grupare de termeni) S=(5−4)+(9−8)+(13−12)+…+(301−300).
În total avem 71 de perechi (metoda contorului), deci S=71⋅1=75.
Metoda 2 (prin calcularea sumelor) S=(5+9+13+…+301)−(4+8+12+…+300). Calculam separat cele două sume: S1=(4⋅1+1)+(4⋅2+1)+…+(4⋅75+1)=4(1+2+…+75)+75=75⋅76⋅2+75. S2=4(1+2+…+75)+75=75⋅76⋅2.
Așadar, S=S1−S2=75.
E.307. Se scriu în ordine primele 2020 numere naturale nenule. Eliminăm din acest șir o parte din numere după următorul procedeu: tăiem un număr, sărim un număr; tăiem două numere, sărim două numere; tăiem trei numere, sărim trei numere; s.a.m.d.
a) Verificați dacă 2020 este tăiat sau nu.
b) Câte numere au rămas netăiate?
După pasul n avem: n(n+1):2 numere tăiate și n(n+1):2 numere netăiate, adică n(n+1) numere în total.
Încercăm acum să găsim două numere consecutive care, înmulțite, să dea un număr mai mic și cât mai apropiat de 2020:
44⋅45=1980;
45⋅46=2070 (nu convine).
Așadar, după pasul 44 avem 44⋅45:2=990 numere tăiate și 990 numere netăiate, adică 1980 numere în total.
Ar trebui să urmeze 45⋅46:2=1035 numere tăiate.
Cum de la 1981 la 2020 sunt (2020−1981)+1=40 de numere, înseamnă că 2020 va fi tăiat.
b) Din calculul de la punctul a rezultă că șirul conține 990+40=1030 numere tăiate și 990 numere netăiate.
E.308. Un joc pe calculator afișează inițial 8 numere naturale consecutive. O mutare la acest joc presupune să alegem la întâmplare două numere diferite, la primul să adunăm 3 iar la al doilea să adunăm 4. După 30 de astfel de mutări suma numerelor afișate în acel moment pe ecran este 270. Determinați cele 8 numere afișate pe ecran la începutul jocului.
Notăm cele 8 numere inițiale cu x,x+1,x+2,…,x+7. Suma acestora este x+x+1+x+2+…+x+7=8x+28.
Observăm că la fiecare mutare, această suma crește cu 7. După 30 de mutări, suma va crește cu 30⋅7=210. Așadar, după 30 de mutări vom avea: (8x+28)+210=270. 8x=32⇒x=4. Deci numerele căutate sunt: 4,5,6,…,11.
a) Din 2ab+ab3=830 rezultă b=7. 2a7+a73=830⇒a=5.
b) Din ab3+a5c+7bc=1243 rezultă că c+c se termină în 0, deci c=5. ab3+a55+7b5=1243. De aici rezultă că b+b se termină în 8, deci b=4. a43+a55+745=1243. a43+a55+745=498, rezultă a=2.