Exercițiul 307

E.307. Se scriu în ordine primele 20202020 numere naturale nenule. Eliminăm din acest șir o parte din numere după următorul procedeu: tăiem un număr, sărim un număr; tăiem două numere, sărim două numere; tăiem trei numere, sărim trei numere; s.a.m.d.
a) Verificați dacă 20202020 este tăiat sau nu.
b) Câte numere au rămas netăiate?

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 20202020 va fi tăiat; a) 990990 numere netăiate.

Soluție:
  • După pasul 11 avem: un număr tăiat, un număr netăiat;
  • După pasul 22 avem: 1+21+2 numere tăiate, 1+21+2 numere netăiate;
  • După pasul 33 avem: 1+2+31+2+3 numere tăiate, 1+2+31+2+3 numere netăiate;
    ...
  • După pasul nn avem: n(n+1):2n(n+1):2 numere tăiate și n(n+1):2n(n+1):2 numere netăiate, adică n(n+1)n(n+1) numere în total.

Încercăm acum să găsim două numere consecutive care, înmulțite, să dea un număr mai mic și cât mai apropiat de 20202020:

  • 44⋅45=1980;44 \cdot 45 = 1980;
  • 45⋅46=207045 \cdot 46 = 2070 (nu convine).

Așadar, după pasul 4444 avem 44⋅45:2=99044 \cdot 45:2=990 numere tăiate și 990990 numere netăiate, adică 19801980 numere în total.
Ar trebui să urmeze 45⋅46:2=103545 \cdot 46:2=1035 numere tăiate.
Cum de la 19811981 la 20202020 sunt (2020−1981)+1=40(2020-1981)+1=40 de numere, înseamnă că 20202020 va fi tăiat.

b) Din calculul de la punctul a rezultă că șirul conține 990+40=1030990+40=1030 numere tăiate și 990990 numere netăiate.