Tehnici de sumare. Sume Gauss.

Fie $a_1, a_2,\ldots, a_{11}$ cele $11$ numere și $S$ suma lor. Din prima condiție, putem scrie:

• $a_1+a_2+a_3 \leq 19;$
• $a_2+a_3+a_4 \leq 19;$
• ...
• $a_{10}+a_{11}+a_1 \leq 19;$
• $a_{11}+a_1+a_2 \leq 19;$

Prin adunare obținem $3S \leq 19 \cdot 11,$ adică $\boxed{S < 70} \quad (1).$
Analog, din a doua condiție obținem $4S \geq 25 \cdot 11,$ adică $\boxed{S > 68} \quad(2).$
Din (1), (2) $\Rightarrow \boxed{S=69}.$

Notăm cu $a$ vârsta lui Albă-ca-Zapada.
$a+\underbrace{a+1+a+2+ \ldots + a+7}_{\text{vârstele ceelor 7 pitici}} = 172.$

$8a + \dfrac{7 \cdot 8}{2} = 172 \Rightarrow \boxed{a=18} \Rightarrow S_{pitici}=172-a=154.$

Metoda 1 (prin grupare de termeni)
$S=(5-4) + (9-8) + (13-12)+ \ldots + (301-300).$
În total avem $71$ de perechi (metoda contorului), deci $S=71 \cdot 1 = 75.$

Metoda 2 (prin calcularea sumelor)
$S = (5+9+13+ \ldots + 301) - (4+8+12+ \ldots +300).$ Calculam separat cele două sume:
$S_1=(4\cdot 1+1) + (4\cdot 2+1) + \ldots + (4\cdot 75+1) = 4(1+2+\ldots+75) + 75 = 75\cdot 76 \cdot 2 +75.$
$S_2= 4(1+2+\ldots+75) + 75 = 75\cdot 76 \cdot 2.$
Așadar, $S=S_1-S_2 = 75.$

• După pasul $1$ avem: un număr tăiat, un număr netăiat;
• După pasul $2$ avem: $1+2$ numere tăiate, $1+2$ numere netăiate;
• După pasul $3$ avem: $1+2+3$ numere tăiate, $1+2+3$ numere netăiate;
  ...
• După pasul $n$ avem: $n(n+1):2$ numere tăiate și $n(n+1):2$ numere netăiate, adică $n(n+1)$ numere în total.

Încercăm acum să găsim două numere consecutive care, înmulțite, să dea un număr mai mic și cât mai apropiat de $2020$:

• $44 \cdot 45 = 1980;$
• $45 \cdot 46 = 2070$ (nu convine).

Așadar, după pasul $44$ avem $44 \cdot 45:2=990$ numere tăiate și $990$ numere netăiate, adică $1980$ numere în total.
Ar trebui să urmeze $45 \cdot 46:2=1035$ numere tăiate.
Cum de la $1981$ la $2020$ sunt $(2020-1981)+1=40$ de numere, înseamnă că $2020$ va fi tăiat.

b) Din calculul de la punctul a rezultă că șirul conține $990+40=1030$ numere tăiate și $990$ numere netăiate.

Notăm cele $8$ numere inițiale cu $x, x+1, x+2, \ldots, x+7.$ Suma acestora este
$x + x+1+x+2+ \ldots + x+7 = 8x+28.$

Observăm că la fiecare mutare, această suma crește cu $7.$ După $30$ de mutări, suma va crește cu $30\cdot 7=210.$ Așadar, după $30$ de mutări vom avea:
$(8x+28) + 210 = 270.$
$8x=32 \Rightarrow \boxed{x=4}.$ Deci numerele căutate sunt: $4,5,6,\ldots, 11.$

$A=(10-1) + (100-1) + \ldots + (1\underbrace{00\ldots0}_{\text{100 de 0}}-1)=$
$=(10+100+\ldots+1\underbrace{00\ldots0}_{\text{100 de 0}})-100=$
$=1\underbrace{11\ldots1}_{\text{100 de 1}}0-100 =\underbrace{11\ldots1}_{\text{98 de 1}}010.$

a) $a+5(b-c) = (a+3b) + (2b-5c) = 27+9=36.$
b) $a+b+5c = (a+3b) - (2b-5c) = 27-9=18.$
c) $3a+7b+5c = 3(a+3b) - (2b-5c) = 3\cdot 27-9=72.$

a) Din $\overline{2ab}+\overline{ab3}=830$ rezultă $\boxed{b=7}.$
$\overline{2a7}+\overline{a73}=830 \Rightarrow \boxed{a=5}.$

b) Din $\overline{ab3}+\overline{a5c}+\overline{7bc}=1243$ rezultă că $c+c$ se termină în $0$, deci $\boxed{c=5}.$
$\overline{ab3}+\overline{a55}+\overline{7b5}=1243.$ De aici rezultă că $b+b$ se termină în $8$, deci $\boxed{b=4}.$
$\overline{a43}+\overline{a55}+745=1243.$
$\overline{a43}+\overline{a55}+745=498,$ rezultă $\boxed{a=2}.$