Tehnici de numărare

Tehnici de numărare

  • metoda contorului
  • regula produsului (Art, pag. 12)
  • numărul de numere aflate între două intervale
Nivel introductiv

E.301. Dispunem de cele 33 cartonașe din imaginea alăturată. Stabiliți câte numere diferite de 33 cifre se pot forma cu aceste cartonașe.

block-beta columns 5 C1["9"] space C2["8"] space C3["9"]
Art, Matematică pentru excelență, 3/7
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1212 numere.

Soluție:

Cele 33 cartonașe le putem interpreta astfel:

  • 9,89, 8 și 9⇒998,989,8999 \Rightarrow 998, 989, 899 (33 numere);
  • 6,86, 8 și 6⇒668,686,8666 \Rightarrow 668, 686, 866 (33 numere);
  • 6,86, 8 și 9⇒689,698,869,896,986,9689 \Rightarrow 689, 698, 869, 896, 986, 968 (66 numere).

În total, 3+3+6=123+3+6=12 numere.

E.302. Câte numere de 33 cifre au produsul cifrelor un număr par?

Mate2000 excelență, 15/175
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Calculăm întâi numărul celor care au produsul cifrelor un număr impar.

Răspuns: 775775 numere.

Soluție:

Metoda 1. Calculăm întâi numărul numerelor care au produsul cifrelor un număr impar. Aceste numere sunt de forma abc‾,\overline{abc}, cu a,b,c∈{1,3,5,7,9}.a, b, c \in \{1,3,5,7,9\}. Folosind regula produsului, obținem astfel 5⋅5⋅5=1255 \cdot 5 \cdot 5 = 125 numere.

Cum în total avem (999-100)+1 = 900 numere de 3 cifre, rezultă că numărul cerut va fi 900-125 = 775 numere.

Metoda 2. Numerele care au produsul cifrelor un număr par au una din formele:

  • abc‾,\overline{abc}, cu a∈{2,4,6,8}a \in \{2,4,6,8\} și b,c∈{0,1,2,…,9},b, c \in \{0,1,2,\ldots,9\}, deci 4⋅10⋅10=4004 \cdot 10 \cdot 10 = 400 numere;
  • abc‾,\overline{abc}, cu a∈{1,3,5,7,9},b∈{0,2,4,6,8}a \in \{1,3,5,7,9\}, b \in \{0,2,4,6,8\} și c∈{0,1,2,…,9},c \in \{0,1,2,\ldots,9\}, deci 5⋅5⋅10=2505 \cdot 5 \cdot 10 = 250 numere;
  • abc‾,\overline{abc}, cu a,b∈{1,3,5,7,9}a, b \in \{1,3,5,7,9\} și c∈{0,2,4,6,8},c \in \{0,2,4,6,8\}, deci 5⋅5⋅5=1505 \cdot 5 \cdot 5 = 150 numere;

Deci, în total, 400+250+150=750400+250+150 = 750 numere.

Obs: La cazurile 2 și 3 de la metoda 2 am avut grijă să nu număr aceleași numere de mai multe ori. Spre exemplu, la cazul 2 am luat doar a∈{1,3,5,7,9}a \in \{1,3,5,7,9\} pentru că numerele pare le-am numărat deja la cazul 1.

E.355. Avem de înșirat 1010 mărgele pe un fir de ață. Se știe că șiragul trebuie să conțină mărgele de 33 culori diferite și oricare două mărgele consecutive nu trebuie să fie de aceeași culoare. Aflați în câte moduri se pot înșira mărgelele.

Test de selecție, Centrul județean de excelență Timiș, octombrie 2024; MateMaraton, 20.08.2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: 1530.1530.

Soluție:
  • Pentru prima mărgea avem 3 opțiuni;
  • Pentru a doua mărgea avem 2 opțiuni (nu poate avea aceeași culoare ca prima mărgea);
  • Pentru a treia mărgea avem din nou 2 opțiuni (nu poate avea aceeași culoare ca a doua mărgea), și așa mai departe.

Astfel, numărul total de moduri în care putem înșira mărgelele este: 3⋅29=1536.3 \cdot 2^9=1536. Din acest total trebuie să eliminăm cele 66 aranjări care conțin doar două culori, adică:

  • 0 1 0 1 0 1 ...
  • 0 2 0 2 0 2 ...
  • 1 0 1 0 1 0 ...
  • 1 2 1 2 1 2 ...
  • 2 0 2 0 2 0 ...
  • 2 1 2 1 2 1 ...

unde prin "0" "1" și "2" am notat cele 3 culori disponibile. Deci șiragul poate fi aranjat în 1536−6=15301536 - 6 = 1530 moduri.

Obs: În baremul oficial, răspunsul este 15361536 (eronat).