Exercițiul 302

E.302. Câte numere de 33 cifre au produsul cifrelor un număr par?

Mate2000 excelență, 15/175
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Calculăm întâi numărul celor care au produsul cifrelor un număr impar.

Răspuns: 775775 numere.

Soluție:

Metoda 1. Calculăm întâi numărul numerelor care au produsul cifrelor un număr impar. Aceste numere sunt de forma abc‾,\overline{abc}, cu a,b,c∈{1,3,5,7,9}.a, b, c \in \{1,3,5,7,9\}. Folosind regula produsului, obținem astfel 5⋅5⋅5=1255 \cdot 5 \cdot 5 = 125 numere.

Cum în total avem (999-100)+1 = 900 numere de 3 cifre, rezultă că numărul cerut va fi 900-125 = 775 numere.

Metoda 2. Numerele care au produsul cifrelor un număr par au una din formele:

  • abc‾,\overline{abc}, cu a∈{2,4,6,8}a \in \{2,4,6,8\} și b,c∈{0,1,2,…,9},b, c \in \{0,1,2,\ldots,9\}, deci 4⋅10⋅10=4004 \cdot 10 \cdot 10 = 400 numere;
  • abc‾,\overline{abc}, cu a∈{1,3,5,7,9},b∈{0,2,4,6,8}a \in \{1,3,5,7,9\}, b \in \{0,2,4,6,8\} și c∈{0,1,2,…,9},c \in \{0,1,2,\ldots,9\}, deci 5⋅5⋅10=2505 \cdot 5 \cdot 10 = 250 numere;
  • abc‾,\overline{abc}, cu a,b∈{1,3,5,7,9}a, b \in \{1,3,5,7,9\} și c∈{0,2,4,6,8},c \in \{0,2,4,6,8\}, deci 5⋅5⋅5=1505 \cdot 5 \cdot 5 = 150 numere;

Deci, în total, 400+250+150=750400+250+150 = 750 numere.

Obs: La cazurile 2 și 3 de la metoda 2 am avut grijă să nu număr aceleași numere de mai multe ori. Spre exemplu, la cazul 2 am luat doar a∈{1,3,5,7,9}a \in \{1,3,5,7,9\} pentru că numerele pare le-am numărat deja la cazul 1.