Tehnici de sumare. Sume Gauss.

Tehnici de sumare. Sume Gauss.

Nivel introductiv

E.303. Pe un cerc sunt 1111 numere naturale astfel încât suma oricăror 33 numere alăturate este cel mult 19,19, iar suma oricăror 44 numere alăturate este cel puțin 25.25. Să se determine suma celor 1111 numere.

Principii și metode de rezolvare V-VI, 6/34, GIL; GM, seria B.
Răspuns | Soluție

Răspuns: S=69.S=69.

Soluție:

Fie a1,a2,…,a11a_1, a_2,\ldots, a_{11} cele 1111 numere și SS suma lor. Din prima condiție, putem scrie:

  • a1+a2+a3≤19;a_1+a_2+a_3 \leq 19;
  • a2+a3+a4≤19;a_2+a_3+a_4 \leq 19;
  • ...
  • a10+a11+a1≤19;a_{10}+a_{11}+a_1 \leq 19;
  • a11+a1+a2≤19;a_{11}+a_1+a_2 \leq 19;

Prin adunare obținem 3S≤19⋅11,3S \leq 19 \cdot 11, adică S<70(1).\boxed{S < 70} \quad (1).
Analog, din a doua condiție obținem 4S≥25⋅11,4S \geq 25 \cdot 11, adică S>68(2).\boxed{S > 68} \quad(2).
Din (1), (2) ⇒S=69.\Rightarrow \boxed{S=69}.

E.304. Albă-ca-Zăpada și cei 77 pitici au suma vârstelor egală cu 172172 de ani. Știind ca Albă-ca-Zăpada este cea mai tânără dintre personajele din poveste și că toate personajele au vârste exprimate prin numere naturale consecutive, aflați suma vârstelor celor 77 pitici.

"Memorial Nicoliță Sanda", Drăgășani, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: Spitici=154.S_{pitici}=154.

Soluție:

Notăm cu aa vârsta lui Albă-ca-Zapada.
a+a+1+a+2+…+a+7⏟vaˆrstele ceelor 7 pitici=172.a+\underbrace{a+1+a+2+ \ldots + a+7}_{\text{vârstele ceelor 7 pitici}} = 172.

8a+7⋅82=172⇒a=18⇒Spitici=172−a=154.8a + \dfrac{7 \cdot 8}{2} = 172 \Rightarrow \boxed{a=18} \Rightarrow S_{pitici}=172-a=154.

E.306. Calculați S=5+9+13+…+301−4−8−12−…−300.S=5+9+13+ \ldots + 301 -4 -8 -12 - \ldots - 300.

Olimpiadă, etapa locală, Dâmbovița, 2018; Harghita, 2009.
Răspuns | Soluție

Răspuns: S=75.S=75.

Soluție:

Metoda 1 (prin grupare de termeni)
S=(5−4)+(9−8)+(13−12)+…+(301−300).S=(5-4) + (9-8) + (13-12)+ \ldots + (301-300).
În total avem 7171 de perechi (metoda contorului), deci S=71⋅1=75.S=71 \cdot 1 = 75.

Metoda 2 (prin calcularea sumelor)
S=(5+9+13+…+301)−(4+8+12+…+300).S = (5+9+13+ \ldots + 301) - (4+8+12+ \ldots +300). Calculam separat cele două sume:
S1=(4⋅1+1)+(4⋅2+1)+…+(4⋅75+1)=4(1+2+…+75)+75=75⋅76⋅2+75.S_1=(4\cdot 1+1) + (4\cdot 2+1) + \ldots + (4\cdot 75+1) = 4(1+2+\ldots+75) + 75 = 75\cdot 76 \cdot 2 +75.
S2=4(1+2+…+75)+75=75⋅76⋅2.S_2= 4(1+2+\ldots+75) + 75 = 75\cdot 76 \cdot 2.
Așadar, S=S1−S2=75.S=S_1-S_2 = 75.

E.307. Se scriu în ordine primele 20202020 numere naturale nenule. Eliminăm din acest șir o parte din numere după următorul procedeu: tăiem un număr, sărim un număr; tăiem două numere, sărim două numere; tăiem trei numere, sărim trei numere; s.a.m.d.
a) Verificați dacă 20202020 este tăiat sau nu.
b) Câte numere au rămas netăiate?

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 20202020 va fi tăiat; a) 990990 numere netăiate.

Soluție:
  • După pasul 11 avem: un număr tăiat, un număr netăiat;
  • După pasul 22 avem: 1+21+2 numere tăiate, 1+21+2 numere netăiate;
  • După pasul 33 avem: 1+2+31+2+3 numere tăiate, 1+2+31+2+3 numere netăiate;
    ...
  • După pasul nn avem: n(n+1):2n(n+1):2 numere tăiate și n(n+1):2n(n+1):2 numere netăiate, adică n(n+1)n(n+1) numere în total.

Încercăm acum să găsim două numere consecutive care, înmulțite, să dea un număr mai mic și cât mai apropiat de 20202020:

  • 44⋅45=1980;44 \cdot 45 = 1980;
  • 45⋅46=207045 \cdot 46 = 2070 (nu convine).

Așadar, după pasul 4444 avem 44⋅45:2=99044 \cdot 45:2=990 numere tăiate și 990990 numere netăiate, adică 19801980 numere în total.
Ar trebui să urmeze 45⋅46:2=103545 \cdot 46:2=1035 numere tăiate.
Cum de la 19811981 la 20202020 sunt (2020−1981)+1=40(2020-1981)+1=40 de numere, înseamnă că 20202020 va fi tăiat.

b) Din calculul de la punctul a rezultă că șirul conține 990+40=1030990+40=1030 numere tăiate și 990990 numere netăiate.

E.308. Un joc pe calculator afișează inițial 88 numere naturale consecutive. O mutare la acest joc presupune să alegem la întâmplare două numere diferite, la primul să adunăm 33 iar la al doilea să adunăm 44. După 3030 de astfel de mutări suma numerelor afișate în acel moment pe ecran este 270.270. Determinați cele 88 numere afișate pe ecran la începutul jocului.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedoara, 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: Numerele sunt: 4,5,6,…,11.4,5,6,\ldots, 11.

Soluție:

Notăm cele 88 numere inițiale cu x,x+1,x+2,…,x+7.x, x+1, x+2, \ldots, x+7. Suma acestora este
x+x+1+x+2+…+x+7=8x+28.x + x+1+x+2+ \ldots + x+7 = 8x+28.

Observăm că la fiecare mutare, această suma crește cu 7.7. După 3030 de mutări, suma va crește cu 30⋅7=210.30\cdot 7=210. Așadar, după 3030 de mutări vom avea:
(8x+28)+210=270.(8x+28) + 210 = 270.
8x=32⇒x=4.8x=32 \Rightarrow \boxed{x=4}. Deci numerele căutate sunt: 4,5,6,…,11.4,5,6,\ldots, 11.

E.310. Calculați: A=9+99+999+…+99…9⏟100 de 9.A=9+99+999+ \ldots + \underbrace{99\ldots9}_{\text{100 de 9}}.

Art, Matematică pentru excelență, 14a/16
Răspuns | Soluție

Răspuns: A=11…1⏟98 de 1010.A=\underbrace{11\ldots1}_{\text{98 de 1}}010.

Soluție:

A=(10−1)+(100−1)+…+(100…0⏟100 de 0−1)=A=(10-1) + (100-1) + \ldots + (1\underbrace{00\ldots0}_{\text{100 de 0}}-1)=
=(10+100+…+100…0⏟100 de 0)−100==(10+100+\ldots+1\underbrace{00\ldots0}_{\text{100 de 0}})-100=
=111…1⏟100 de 10−100=11…1⏟98 de 1010.=1\underbrace{11\ldots1}_{\text{100 de 1}}0-100 =\underbrace{11\ldots1}_{\text{98 de 1}}010.

E.311. Fie numerele naturale aa, bb, cc astfel încât a+3b=27a+3b=27 și 2b−5c=9.2b-5c=9. Calculați:
a) a+5(b−c);a+5(b-c);
b) a+b+5c;a+b+5c;
c) 3a+7b+5c.3a+7b+5c.

Concursul "Argeșgim", Pitești, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 36;36;\quadb) 18;18;\quadc) 72.72.

Soluție:

a) a+5(b−c)=(a+3b)+(2b−5c)=27+9=36.a+5(b-c) = (a+3b) + (2b-5c) = 27+9=36.
b) a+b+5c=(a+3b)−(2b−5c)=27−9=18.a+b+5c = (a+3b) - (2b-5c) = 27-9=18.
c) 3a+7b+5c=3(a+3b)−(2b−5c)=3⋅27−9=72.3a+7b+5c = 3(a+3b) - (2b-5c) = 3\cdot 27-9=72.

E.312. a) Determinați numerele ab‾\overline{ab} pentru care 2ab‾+ab3‾=830.\overline{2ab}+\overline{ab3}=830.
b) Determinați numerele abc‾\overline{abc} pentru care ab3‾+a5c‾+7bc‾=1243.\overline{ab3}+\overline{a5c}+\overline{7bc}=1243.

Art, 37/26, ***
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 57;57;\quad b) 245.245.

Soluție:

a) Din 2ab‾+ab3‾=830\overline{2ab}+\overline{ab3}=830 rezultă b=7.\boxed{b=7}.
2a7‾+a73‾=830⇒a=5.\overline{2a7}+\overline{a73}=830 \Rightarrow \boxed{a=5}.

b) Din ab3‾+a5c‾+7bc‾=1243\overline{ab3}+\overline{a5c}+\overline{7bc}=1243 rezultă că c+cc+c se termină în 00, deci c=5.\boxed{c=5}.
ab3‾+a55‾+7b5‾=1243.\overline{ab3}+\overline{a55}+\overline{7b5}=1243. De aici rezultă că b+bb+b se termină în 88, deci b=4.\boxed{b=4}.
a43‾+a55‾+745=1243.\overline{a43}+\overline{a55}+745=1243.
a43‾+a55‾+745=498,\overline{a43}+\overline{a55}+745=498, rezultă a=2.\boxed{a=2}.

Nume CreatLa (UTC)
Tema3-Tehnici de sumare. Sume Gauss. 07-10-2024 15:57