Exercițiul 306

E.306. Calculați S=5+9+13+…+301−4−8−12−…−300.S=5+9+13+ \ldots + 301 -4 -8 -12 - \ldots - 300.

Olimpiadă, etapa locală, Dâmbovița, 2018; Harghita, 2009.
Răspuns | Soluție

Răspuns: S=75.S=75.

Soluție:

Metoda 1 (prin grupare de termeni)
S=(5−4)+(9−8)+(13−12)+…+(301−300).S=(5-4) + (9-8) + (13-12)+ \ldots + (301-300).
În total avem 7171 de perechi (metoda contorului), deci S=71⋅1=75.S=71 \cdot 1 = 75.

Metoda 2 (prin calcularea sumelor)
S=(5+9+13+…+301)−(4+8+12+…+300).S = (5+9+13+ \ldots + 301) - (4+8+12+ \ldots +300). Calculam separat cele două sume:
S1=(4⋅1+1)+(4⋅2+1)+…+(4⋅75+1)=4(1+2+…+75)+75=75⋅76⋅2+75.S_1=(4\cdot 1+1) + (4\cdot 2+1) + \ldots + (4\cdot 75+1) = 4(1+2+\ldots+75) + 75 = 75\cdot 76 \cdot 2 +75.
S2=4(1+2+…+75)+75=75⋅76⋅2.S_2= 4(1+2+\ldots+75) + 75 = 75\cdot 76 \cdot 2.
Așadar, S=S1−S2=75.S=S_1-S_2 = 75.