Exercițiul 303

E.303. Pe un cerc sunt 1111 numere naturale astfel încât suma oricăror 33 numere alăturate este cel mult 19,19, iar suma oricăror 44 numere alăturate este cel puțin 25.25. Să se determine suma celor 1111 numere.

Principii și metode de rezolvare V-VI, 6/34, GIL; GM, seria B.
Răspuns | Soluție

Răspuns: S=69.S=69.

Soluție:

Fie a1,a2,…,a11a_1, a_2,\ldots, a_{11} cele 1111 numere și SS suma lor. Din prima condiție, putem scrie:

  • a1+a2+a3≤19;a_1+a_2+a_3 \leq 19;
  • a2+a3+a4≤19;a_2+a_3+a_4 \leq 19;
  • ...
  • a10+a11+a1≤19;a_{10}+a_{11}+a_1 \leq 19;
  • a11+a1+a2≤19;a_{11}+a_1+a_2 \leq 19;

Prin adunare obținem 3S≤19⋅11,3S \leq 19 \cdot 11, adică S<70(1).\boxed{S < 70} \quad (1).
Analog, din a doua condiție obținem 4S≥25⋅11,4S \geq 25 \cdot 11, adică S>68(2).\boxed{S > 68} \quad(2).
Din (1), (2) ⇒S=69.\Rightarrow \boxed{S=69}.