Exercițiul 308

E.308. Un joc pe calculator afișează inițial 88 numere naturale consecutive. O mutare la acest joc presupune să alegem la întâmplare două numere diferite, la primul să adunăm 33 iar la al doilea să adunăm 44. După 3030 de astfel de mutări suma numerelor afișate în acel moment pe ecran este 270.270. Determinați cele 88 numere afișate pe ecran la începutul jocului.

Olimpiadă, etapa locală, Hunedoara, 2024
Răspuns | Soluție

Răspuns: Numerele sunt: 4,5,6,…,11.4,5,6,\ldots, 11.

Soluție:

Notăm cele 88 numere inițiale cu x,x+1,x+2,…,x+7.x, x+1, x+2, \ldots, x+7. Suma acestora este
x+x+1+x+2+…+x+7=8x+28.x + x+1+x+2+ \ldots + x+7 = 8x+28.

Observăm că la fiecare mutare, această suma crește cu 7.7. După 3030 de mutări, suma va crește cu 30⋅7=210.30\cdot 7=210. Așadar, după 3030 de mutări vom avea:
(8x+28)+210=270.(8x+28) + 210 = 270.
8x=32⇒x=4.8x=32 \Rightarrow \boxed{x=4}. Deci numerele căutate sunt: 4,5,6,…,11.4,5,6,\ldots, 11.