Exercițiul 342

E.342. Să se calculeze suma: S=1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+3⋅4⋅5+…+98⋅99⋅100.S=1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + 98 \cdot 99 \cdot 100.

Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Se înmulțește și membrul stâng și membrul drept cu 4.4.

Răspuns: S=98⋅99⋅100⋅101:4.S=98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 : 4.

Soluție:

4S=1⋅2⋅3⋅4+2⋅3⋅4⋅(5−1)+3⋅4⋅5⋅(6−2)+…+98⋅99⋅100⋅(101−97).4S=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (5-1) + 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (6-2) + \ldots + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot (101-97).
4S=1⋅2⋅3⋅4+(2⋅3⋅4⋅5−1⋅2⋅3⋅4)+(3⋅4⋅5⋅6−2⋅3⋅4⋅5)+…+(98⋅99⋅100⋅101−97⋅98⋅99⋅100).4S=\cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + (\cancel{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} - \cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}) + (3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 - \cancel{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}) + \ldots + (98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101-\cancel{97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100}).
S=98⋅99⋅100⋅101:4.S=98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 : 4.

Metoda 2 (opțional): Ne folosim de egalitatea n(n+1)(n+2)=(n2+n)(n+2)=n3+3n2+2nn(n+1)(n+2) = (n^2+n)(n+2) = n^3+3n^2 + 2n și formulele 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1):6\boxed{1^2+2^2+ \ldots + n^2 = n(n+1)(2n+1):6} și 13+23+…+n3=n2(n+1)2:4.\boxed{1^3+2^3+ \ldots + n^3 = n^2(n+1)^2:4}.

S=(13+3⋅12+2⋅1)+(23+3⋅22+2⋅2)+(33+3⋅32+2⋅3)+…+(983+3⋅982+2⋅98)=S=(1^3+3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1) + (2^3+3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2) + (3^3+3 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3) + \ldots + (98^3+3 \cdot 98^2 + 2 \cdot 98)=
(13+23+…+983)+3(12+22+…+982)+2(1+2+…+98)=(1^3+2^3+ \ldots + 98^3) + 3(1^2+2^2+ \ldots + 98^2) + 2(1+2+\ldots + 98)=
=982⋅992:4+3⋅98⋅99⋅197:6+98⋅99==98^2 \cdot 99^2 :4 + 3 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 197 :6 + 98 \cdot 99=
=98⋅99⋅100⋅101:4.=98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 : 4.