Exercițiul 334

E.334. Aflați suma numerelor naturale de forma abc‾\overline{abc} care verifică relația:
(ab‾+c)+3(bc‾+a)+5(ca‾+b)=(a3+b3+c3+1)(a+2b+3c).(\overline{ab} + c) + 3(\overline{bc} + a) + 5(\overline{ca} + b) = (a^3+b^3+c^3+1)(a+2b+3c).

Notă: Prin notația a3a^3 se înțelege a⋅a⋅a.a \cdot a \cdot a.

Olimpiadă, etapa locală, Sibiu, 2024
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: După calcule, membru stâng devine 18(a+2b+3c).18(a+2b+3c).

Indicația 2: Prin egalare cu membrul drept obținem a3+b3+c3=17.a^3+b^3+c^3=17. Se continuă prin incercări.

Răspuns: 221+212+122=555.221+212+122 = 555.

Soluție:

În membrul stâng avem:
(ab‾+c)+3(bc‾+a)+5(ca‾+b)=(\overline{ab} + c) + 3(\overline{bc} + a) + 5(\overline{ca} + b) =
=10a+b+c+3(10b+c+a)+5(10c+a+b)==10a+b+c+3(10b+c+a) + 5(10c+a+b) =
=18a+36b+54c==18a+36b+54c=
=18(a+2b+3c).=18(a+2b+3c).

Prin egalare cu membrul drept, obținem:
a3+b3+c3+1=18a^3+b^3+c^3+1=18
a3+b3+c3=17⇒(a,b,c)=(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2).a^3+b^3+c^3=17 \Rightarrow (a,b,c) = (2,2,1),(2,1,2),(1,2,2).

Deci suma numerelor abc‾\overline{abc} este 221+212+122=555.221+212+122 = 555.