Exercițiul 323

E.323. Câteva numere naturale distincte sunt scrise pe o tablă. Produsul celor mai mici două numere este 1616, iar produsul celor mai mari două numere este 225225. Care este suma numerelor scrise pe tablă?

Upper.School, etapa II, 2022-2023
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: Se scriu numerele 1616 și 225225 ca produs de două numere distincte. Varianta 16=1⋅1616=1 \cdot 16 nu convine pentru că 1616 este mai mare decât unul dintre factorii care apar în fiecare scriere a lui 225.225. Deci cele mai mici două numere sunt 22 și 8.8.

Indicația 2: Analog, pentru 225225 putem păstra doar varianta 225=9⋅25.225=9 \cdot 25.

Răspuns: 44.44.

Soluție:

Scrierile numerelor 1616 și 225225 ca produs de două numere distincte sunt:

  • 16=1⋅16=2⋅8;16 = 1 · 16 = 2 · 8;
  • 225=1⋅225=3⋅75=5⋅45=9⋅25.225 = 1 · 225 = 3 · 75 = 5 · 45 = 9 · 25.

Varianta 16=1⋅1616=1 \cdot 16 nu convine pentru că 1616 este mai mare decât unul dintre factorii care apar în fiecare scriere a lui 225.225. Deci cele mai mici două numere sunt 22 și 8.8. Analog, pentru 225225 putem păstra doar varianta 225=9⋅25225=9 \cdot 25 (11, 33 și 55 fiind mai mici decât 88).

Cum 88 și 99 sunt numere consecutive rezultă că nu mai există un alt număr scris pe tablă. Suma numerelor scrise pe tablă este 2+8+9+25=44.2 + 8 + 9 + 25 = 44.