Exercițiul 324

E.324. Calculați (b+2c)(c−a)(2a+b)(b+2c)(c-a)(2a+b) știind că a+b+c=31a+b+c=31 și 2a+3b+4c=105.2a+3b+4c=105.

Olimpiadă, etapa locală, Iași, 2012, Nicolae Ivășchescu
N. Grigore, Olimpiade și concursuri, 50/12.
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: Notăm relația a+b+c=31a+b+c=31 cu AA și relația 2a+3b+4c=1052a+3b+4c=105 cu B.B. Din B−2A⇒b+2c=43.B-2A \Rightarrow b+2c=43.

Răspuns: 9904.9904.

Soluție:

Notăm relația a+b+c=31a+b+c=31 cu AA și relația 2a+3b+4c=1052a+3b+4c=105 cu B.B.

  • din B−2A⇒b+2c=105−62=43;B-2A \Rightarrow b+2c=105-62=43;
  • din B−3A⇒c−a=105−93=12;B-3A \Rightarrow c-a=105-93=12;
  • din 4A−B⇒2a+b=124−105=194A-B \Rightarrow 2a+b=124-105=19.

Deci (b+2c)(c−a)(2a+b)=43⋅12⋅19=9904.(b+2c)(c-a)(2a+b)=43 \cdot 12 \cdot 19 = 9904.