Sume de pătrate și cuburi perfecte

Sume de pătrate și cuburi perfecte

Numere pitagoreice

  • util în descompunerea unui număr în sumă de pătrate.
Nivel introductiv

E.566. a) Calculați 422+162.42^2+16^2.
b) Scrieți numărul 202052020^5 ca sumă de două pătrate perfecte.

Olimpiadă, etapa locală, Bistrița-Năsăud, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 2020;2020; b) (42⋅20202)2+(16⋅20202)2.(42 \cdot 2020^2)^2 + (16 \cdot 2020^2)^2.

Soluție:

a) 422+162=1764+256=2020.42^2+16^2 = 1764+256=2020.

b) 20205=2020⋅20204=2020^5 = 2020 \cdot 2020^4 =
=(422+162)⋅20204==(42^2+16^2) \cdot 2020^4=
=422⋅(20202)2+162⋅(20202)2==42^2 \cdot (2020^2)^2 + 16^2 \cdot (2020^2)^2=
=(42⋅20202)2+(16⋅20202)2.=(42 \cdot 2020^2)^2 + (16 \cdot 2020^2)^2.

E.567. a) Scrieți numărul 2828 ca sumă dintre un cub perfect și un pătrat perfect.
b) Arătați că există numerele naturale nenule aa și b,b, astfel încât 282017=a3+b2.28^{2017} = a^3+b^2.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 28=33+12;28=3^3+1^2; b) a=3⋅28672, b=281008.a=3 \cdot 28^{672},~ b=28^{1008}.

Soluție:

a) 28=33+12.28=3^3+1^2.

b) 282017=28⋅282016=28^{2017} = 28 \cdot 28^{2016}=
=(33+12)⋅282016==(3^3+1^2) \cdot28^{2016}=
=33⋅28672⋅3+12⋅281008⋅2==3^3 \cdot 28^{672 \cdot 3} + 1^2 \cdot 28^{1008 \cdot 2}=
=(3⋅28672)3+(281008)2,=(3 \cdot 28^{672})^3 + (28^{1008})^2, deci există a=3⋅28672\boxed{a=3 \cdot 28^{672}} și b=281008.\boxed{b=28^{1008}}.

E.569. a) Arătați că 2020−282020-2^8 este pătrat perfect.
b) Arătați că 202020192020^{2019} poate fi scris ca sumă de două pătrate perfecte.

Olimpiadă, etapa locală, Vrancea, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 2020−28=422;2020 - 2^8 = 42^2; b) 20202019=(16⋅20201009)2+(42⋅20201009)2.2020^{2019}=(16 \cdot 2020^{1009})^2 + (42 \cdot 2020^{1009})^2.

Soluție:

a) 2020−28=2020−256=1764=422.2020 - 2^8 = 2020-256 = 1764 = 42^2.

b) De la punctul a) avem 2020=28+422=(24)2+422=162+422.2020 = 2^8+42^2 = (2^4)^2 + 42^2 = 16^2+42^2.
20202019=2020⋅20202018=2020^{2019}=2020 \cdot 2020^{2018}=
(162+422)⋅20202018=(16^2+42^2) \cdot 2020^{2018}=
162⋅(20201009)2+422⋅(20201009)2=16^2 \cdot (2020^{1009})^2 + 42^2 \cdot (2020^{1009})^2=
(16⋅20201009)2+(42⋅20201009)2.(16 \cdot 2020^{1009})^2 + (42 \cdot 2020^{1009})^2.

E.570. a) Arătați că 10210^2 se poate scrie ca sumă a patru cuburi perfecte.
b) Determinați numerele naturale nenule distincte m,n,p,q,m,n,p,q, știind că m3+n3+p3+q3=102021.m^3+n^3+p^3+q^3=10^{2021}.

Gheorghe Achim, Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 102=43+33+23+13;10^2=4^3+3^3+2^3+1^3; b) Putem alege: m=4⋅10673, n=3⋅10673, p=2⋅10673, q=10673.m=4 \cdot 10^{673},~ n=3 \cdot 10^{673},~ p=2 \cdot 10^{673},~ q=10^{673}.

Soluție:

a) 102=64+27+8+1=43+33+23+13.10^2=64+27+8+1 = 4^3+3^3+2^3+1^3.

b) 102021=102⋅102019=10^{2021} = 10^2 \cdot 10^{2019}=
=(43+33+23+13)⋅102019==(4^3+3^3+2^3+1^3) \cdot 10^{2019}=
=43⋅(10673)3+33⋅(10673)3+23⋅(10673)3+(10673)3.=4^3 \cdot (10^{673})^3 + 3^3 \cdot (10^{673})^3 + 2^3 \cdot (10^{673})^3 + (10^{673})^3.

Deci putem alege: m=4⋅10673, n=3⋅10673, p=2⋅10673, q=10673.m=4 \cdot 10^{673},~ n=3 \cdot 10^{673},~ p=2 \cdot 10^{673},~ q=10^{673}.

E.571. a) Verificați dacă 2020=442+82+42+22.2020=44^2+8^2+4^2+2^2.
b) Arătați că 20202n+12020^{2n+1} se poate scrie ca sumă de patru pătrate perfecte, oricare ar fi numărul natural n.n.

Olimpiadă, etapa locală, Botoșani, 2020; Ialomița, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 20202n+1=(44⋅2020n)2+(8⋅2020n)2+(4⋅2020n)2+(2⋅2020n)2.2020^{2n+1}=(44 \cdot 2020^n)^2 + (8 \cdot 2020^n)^2 + (4 \cdot 2020^n)^2 + (2 \cdot 2020^n)^2.

Soluție:

a) 442+82+42+22=1936+64+16+4=2020.44^2+8^2+4^2+2^2 = 1936+64+16+4=2020.

b) 20202n+1=2020⋅20202n=2020^{2n+1} = 2020 \cdot 2020^{2n}=
=(442+82+42+22)⋅20202n==(44^2+8^2+4^2+2^2) \cdot 2020^{2n} =
=442⋅(2020n)2+82⋅(2020n)2+42⋅(2020n)2+22⋅(2020n)2==44^2 \cdot (2020^n)^2 + 8^2 \cdot (2020^n)^2 + 4^2 \cdot (2020^n)^2 + 2^2 \cdot (2020^n)^2=
=(44⋅2020n)2+(8⋅2020n)2+(4⋅2020n)2+(2⋅2020n)2.=(44 \cdot 2020^n)^2 + (8 \cdot 2020^n)^2 + (4 \cdot 2020^n)^2 + (2 \cdot 2020^n)^2.

E.572. a) Calculați a=102−72a=10^2-7^2 și b=852−682.b=85^2-68^2.
b) Scrieți numărul 51n51^n ca o diferență de două pătrate perfecte nenule, unde n∈N∗.n\in \N^*.

Olimpiadă, etapa locală, Argeș, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) a=51; b=2601=51^2.$

Soluție:

a) a=102−72=100−49=51;a=10^2-7^2=100-49=51;
b=852−682=7225−4624=2601=512.b=85^2-68^2 = 7225-4624=2601=51^2.

b) Tratăm cazurile când nn este par și impar.

  • n=2k: 51n=512k=512⋅512k−2=(852−682)⋅512(k−1)=(85⋅51k−1)2−(68⋅51k−1)2.n=2k:~ 51^n=51^{2k} = 51^2 \cdot 51^{2k-2} = (85^2-68^2) \cdot 51^{2(k-1)} = (85 \cdot 51^{k-1})^2 - (68 \cdot 51^{k-1})^2.
  • n=2k+1: 512k+1=51⋅512k=(102−72)⋅512k=(10⋅51k)2−(7⋅51k)2.n=2k+1:~ 51^{2k+1} = 51 \cdot 51^{2k} = (10^2-7^2) \cdot 51^{2k}= (10 \cdot 51^k)^2 - (7 \cdot 51^k)^2.

E.573. Fie numărul N=22n+4⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n,N=2^{2n+4} \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n, unde nn este număr natural.
a) Arătați că NN nu este pătrat perfect, pentru nicio valoare a lui n.n.
b) Scrieți numărul NN ca suma a trei pătrate perfecte.

Gabriela Ionică, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: n=102n⋅35n=10^{2n} \cdot 35

Soluție:

a) N=22n⋅24⋅52n+102n⋅52−6⋅20n⋅5n=N=2^{2n} \cdot 2^4 \cdot 5^{2n} + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 20^n \cdot 5^n=
=102n⋅24+102n⋅52−6⋅102n==10^{2n} \cdot 2^4 + 10^{2n} \cdot 5^2 - 6 \cdot 10^{2n}=
102n(24+52−6)=102n⋅35=22n⋅52n+1⋅7.10^{2n}(2^4+5^2-6)= 10^{2n} \cdot 35 = 2^{2n} \cdot 5^{2n+1} \cdot 7.
Cum în descompunerea lui NN 55 și 77 apar la puteri impare, înseamnă că NN nu este pătrat perfect.

b) N=35⋅102n=N = 35 \cdot 10^{2n}=
=(25+9+1)102n==(25+9+1)10^{2n}=
=52⋅(10n)2+32⋅(10n)2+(10n)2==5^2 \cdot (10^n)^2 + 3^2 \cdot (10^n)^2 + (10^n)^2=
=(5⋅10n)2+(3⋅10n)2+(10n)2.=(5 \cdot 10^n)^2 + (3 \cdot 10^n)^2 + (10^n)^2.

E.574. a) Arătați că numărul x=(31+2+3+…+42+2⋅31+3+5+…+59):29x=(3^{1+2+3+\ldots+42} + 2 \cdot 3^{1+3+5+ \ldots+59}):29 este cub perfect.
b) Arătați că numărul xx poate fi scris ca o sumă de patru pătrate perfecte distincte nenule.

Olimpiadă, etapa locală, Arad, 2018
Indicații (2) | Răspuns | Soluție

Indicația 1: x=3900.x=3^{900}.

Indicația 2: 34=81=62+52+42+22.3^4=81=6^2+5^2+4^2+2^2.

Răspuns: a) x=3900;x=3^{900}; b) x=(6⋅3448)2+(5⋅3448)2+(4⋅3448)2+(2⋅3448)2.x=(6 \cdot 3^{448})^2 + (5 \cdot 3^{448})^2 + (4 \cdot 3^{448})^2 + (2 \cdot 3^{448})^2.

Soluție:

a) 1+2+3+…+42=42⋅43:2=903.1+2+3+\ldots+42 = 42 \cdot 43 :2 = 903.
1+3+5+…+59=1+2+3+…+60−(2+4+6+…+60)=30⋅61−2⋅15⋅31=900.1+3+5+ \ldots+59 = 1+2+3+\ldots+60 - (2+4+6+\ldots+60) = 30 \cdot 61 - 2 \cdot 15 \cdot 31 = 900.
x=(3903+2⋅3900):29=x=(3^{903} + 2 \cdot 3^{900}):29=
=3900(33+2):29,=3^{900}(3^3+2):29, deci x=3900=(3300)3.\boxed{x=3^{900}}=(3^{300})^3.

b) Folosim faptul că 81=62+52+42+22.\boxed{81=6^2+5^2+4^2+2^2}.
x=3900=(34)225=81⋅81224=x=3^{900}=(3^4)^{225} = 81 \cdot 81^{224}=
=(62+52+42+22)⋅3448==(6^2+5^2+4^2+2^2) \cdot 3^{448}=
=(6⋅3448)2+(5⋅3448)2+(4⋅3448)2+(2⋅3448)2.=(6 \cdot 3^{448})^2 + (5 \cdot 3^{448})^2 + (4 \cdot 3^{448})^2 + (2 \cdot 3^{448})^2.

E.575. Scrieți numărul a=152018a=15^{2018} ca sumă de 55 cuburi perfecte.

Delia Ileana Naidin Basch, Olimpiadă, etapa locală, Olt, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: a=(5⋅15672)3+(4⋅15672)3+(3⋅15672)3+(2⋅15672)3+(15672)3.a=(5 \cdot 15^{672})^3 + (4 \cdot 15^{672})^3 + (3 \cdot 15^{672})^3 + (2 \cdot 15^{672})^3 + (15^{672})^3.

Soluție:

a=152⋅152016=a=15^2 \cdot 15^{2016}=
=(53+43+33+23+13)⋅(15672)3==(5^3+4^3+3^3+2^3+1^3) \cdot (15^{672})^3=
=(5⋅15672)3+(4⋅15672)3+(3⋅15672)3+(2⋅15672)3+(15672)3.=(5 \cdot 15^{672})^3 + (4 \cdot 15^{672})^3 + (3 \cdot 15^{672})^3 + (2 \cdot 15^{672})^3 + (15^{672})^3.

E.576. Fie numărul natural A=99…9⏟29 de 9 88…8⏟28 de 8 … 22…2⏟22 de 2 11…1⏟21 de 1.A=\underbrace{99\ldots9}_{\text{29 de 9}}~\underbrace{88\ldots8}_{\text{28 de 8}}~ \dots~ \underbrace{22\ldots2}_{\text{22 de 2}}~ \underbrace{11\ldots1}_{\text{21 de 1}}. Dacă SS reprezintă suma cifrelor numărului A,A, arătați că numărul SS poate fi scris ca o sumă de pătrate perfecte.

Roxana Manea, Olimpiadă, etapa locală, Giurgiu, 2020
Indicații (1) | Răspuns | Soluție

Indicații: S=9(20+9)+8(20+8)+…+1(20+1).S=9(20+9) + 8(20+8) + \ldots + 1(20+1).

Răspuns: S=92+82+…+12+(2⋅3⋅5)2.S=9^2+8^2+ \ldots+1^2 + (2 \cdot 3 \cdot 5)^2.

Soluție:

S=9⋅29+8⋅28+…+1⋅21=S=9 \cdot 29+ 8 \cdot 28 + \ldots + 1 \cdot 21=
=9(20+9)+8(20+8)+…+1(20+1)==9(20+9) + 8(20+8) + \ldots + 1(20+1)=
=92+82+…+12+20(9+8+…+1)==9^2+8^2+ \ldots+1^2 + 20(9+8+\ldots+1)=
=92+82+…+12+(2⋅3⋅5)2.=9^2+8^2+ \ldots+1^2 + (2 \cdot 3 \cdot 5)^2.

E.577. a) Arătați că 2626 și 26226^2 se pot scrie ca suma a trei pătrate perfecte nenule.
b) Demonstrați că pentru orice nn număr natural nenul, numărul 26n26^n se poate scrie ca suma a trei pătrate perfecte nenule.

Petre Năchilă, Olimpiadă, etapa locală, Prahova, 2020
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 26=26=42+32+12; 262=242+82+62.26=26=4^2+3^2 + 1^2;~26^2=24^2+8^2+6^2.

Soluție:

a1) Începem cu pătratul perfect cel mai apropiat de 26.26.

  • 26−25=126-25 = 1 (nu convine);
  • 26−16=10=9+1.26-16 = 10 = 9+1. Deci 26=42+32+12.\boxed{26=4^2+3^2 + 1^2}.

a2) Metoda 1 - cu triplete pitagoreice (t.p.):

(5,12,13) t.p. ⇒2⋅(5,12,13) t.p. ⇒102+242=262(3,4,5) t.p. ⇒2⋅(3,4,5) t.p. ⇒62+82=102}⇒262=242+82+62. \begin{rcases} (5,12,13) \text{ t.p. } \Rightarrow 2 \cdot (5,12,13) \text{ t.p. } \Rightarrow 10^2+24^2=26^2\\ (3,4,5) \text{ t.p. } \Rightarrow 2 \cdot (3,4,5) \text{ t.p. } \Rightarrow 6^2+8^2=10^2 \end{rcases} \Rightarrow \boxed{26^2=24^2 + 8^2 + 6^2}.

Metoda 2. Începem cu pătratul perfect cel mai apropiat de 26226^2:

  • 262−252=676−625=51.26^2-25^2 = 676-625=51. Încercăm să-l descompunem pe 5151:
    • 51−49=251-49=2 (nu convine);
    • 51−36=1551-36=15 (nu convine);
    • 51−25=2651-25=26 (acesta și următoarele nu convin);
  • 262−242=676−576=100.26^2-24^2 = 676-576=100. Încercăm să-l descompunem pe 100100:
    • 100−81=19100-81=19 (nu convine);
    • 100−64=36⇒100=82+62.100-64=36 \Rightarrow \boxed{100=8^2+6^2}. În concluzie, 262=242+82+62.\boxed{26^2=24^2+8^2+6^2}.

b) Tratăm cazurile când nn este par și impar:

  • n=2k: 26n=262k=262⋅262k−2=(242+82+62)⋅262(k−1)=(24⋅26k−1)2+8⋅26k−1)2+(6⋅26k−1)2.n=2k:~ 26^n=26^{2k} = 26^2 \cdot 26^{2k-2} = (24^2+8^2+6^2) \cdot 26^{2(k-1)} = (24 \cdot 26^{k-1})^2 + 8 \cdot 26^{k-1})^2 + (6 \cdot 26^{k-1})^2.
  • n=2k+1: 262k+1=26⋅262k=(42+32+12)⋅262k=(4⋅26k)2+(3⋅26k)2+(26k)2.n=2k+1:~ 26^{2k+1} = 26 \cdot 26^{2k} = (4^2+3^2 + 1^2) \cdot 26^{2k}= (4 \cdot 26^k)^2 + (3 \cdot 26^k)^2 + (26^k)^2.

E.578. a) Scrieți numărul 289289 ca sumă de 33 pătrate perfecte.
b) Arătați că 82018+92018+122018<2892018.8^{2018} + 9^{2018} + 12^{2018} < 289^{2018}.

Olimpiadă, etapa locală, Vaslui, 2018
Răspuns | Soluție

Răspuns: 289=82+92+122.289=8^2+9^2+12^2.

Soluție:

a) Intuiția ne spune că cele 33 numere căutate ar putea fi chiar cele de la punctul b. Într-adevăr, 82+92+122=64+81+144=289.8^2+9^2+12^2 = 64+81+144 = 289.

b) Folosind punctul a, inegalitatea devine:
82018+92018+122018<(82+92+122)⋅2892017.8^{2018} + 9^{2018} + 12^{2018} < (8^2+9^2+12^2) \cdot 289^{2017}.
8⋅82017+9⋅92017+12⋅122017<82⋅2892017+92⋅2892017+122⋅2892017.8 \cdot 8^{2017} + 9 \cdot 9^{2017} + 12 \cdot 12^{2017} < 8^2 \cdot 289^{2017} + 9^2 \cdot 289^{2017} + 12^2 \cdot 289^{2017}.
Dacă comparăm primul termen din membrul stâng cu primul termen din membrul 2 (și analog restul), concluzionăm că inegalitatea de mai sus este evidentă.

E.568. a) Calculați 132+252+352.13^2+25^2+35^2.
b) Arătați că numărul 201920192019^{2019} se poate scrie ca sumă a trei pătrate perfecte.

Olimpiadă, etapa locală, Teleorman, 2019
Răspuns | Soluție

Răspuns: a) 2019;2019; b) 20192019=(13⋅20191009)2+(25⋅20191009)2+(35⋅20191009)2.2019^{2019}=(13 \cdot 2019^{1009})^2 + (25 \cdot 2019^{1009})^2+ (35 \cdot 2019^{1009})^2.

Soluție:

a) 132+252+352=13^2+25^2+35^2 =
=169+625+1225=2019.=169+625+1225 = 2019.

b) 20192019=2019⋅20192018=2019^{2019}=2019 \cdot 2019^{2018}=
(132+252+352)⋅20192018=(13^2+25^2+35^2) \cdot 2019^{2018}=
=132⋅(20191009)2+252⋅(20191009)2+352⋅(20191009)2==13^2 \cdot (2019^{1009})^2 + 25^2 \cdot (2019^{1009})^2 + 35^2 \cdot (2019^{1009})^2=
(13⋅20191009)2+(25⋅20191009)2+(35⋅20191009)2.(13 \cdot 2019^{1009})^2 + (25 \cdot 2019^{1009})^2+ (35 \cdot 2019^{1009})^2.

Nume CreatLa (UTC)
Tema11 Sume de pătrate și cuburi perfecte 07-12-2024 19:59